杨志安

（唐山学院 唐山市结构与振动工程重点实验室，河北 唐山063000）

跨学科研究是现代科学发展的重要趋势。当前，提倡和推进跨学科研究已成为包括科技界和社科界在内的社会各方面的重要共识。但是要把这种共识转化为行动上的高度自觉，需要进一步破除来自体制、机制、组织管理和学术价值观念等方面的制约。不管是自然科学还是社会科学或人文科学，它们研究的对象无非就是自然、社会和人本身。在现实世界，自然、社会和人本身是一个整体，而在科学研究中，无论哪一类科学，哪一个学科，都只是对这一整体中的局部现象的研究。任何学科都存在研究对象的整体性与既定学科的局部性的矛盾。任何涉及当代社会发展的重大问题，都要从科学和技术、人和社会密切结合中进行探索，也就是从自然界、人和社会发展整体性上加以研究。

国内外对于重大科学技术问题通过跨学科研究进行联合研究的例子很多：世界基因组工程研究、中国的“两弹一星”计划就是最典型的跨学科研究。同时，国内在人文社会科学研究方面也开始重视跨学科研究。英国学者C·P·斯诺提出的关于“科学文化”和“文学文化”的重要命题，即“斯诺”命题正在日益受到重视。我国学者顾海良的《推进跨学科研究破解重大理论和现实问题》［1］、罗卫东的《跨学科社会科学研究：理论创新的新途径》［2］、黄新华的《跨学科研究中的问题意识》［3］起到了引领与示范作用。

对于跨学科教学研究，应当明晰几个基本问题。第一，什么是跨学科教学？共同的解释是跨学科教学就是指以一个学科为中心，在学科中选择一个中心题目，围绕这个中心题目，运用不同学科的知识，展开对所指向的共同题目进行加工和设计教学。第二是跨学科教学研究的起点问题。即，究竟是以学科的研究为起点还是以问题的研究为起点？学科不断朝着深化和细化的方向发展，其系统性和稳定性越来越强，而问题的研究则是按照多学科的要求设定，以问题本身的需要来组织不同学科的学者开展研究，具有极为广泛的学科综合性。强调跨学科教学研究，就是要强调问题研究的必要性和合理性。第三是在跨学科教学研究中，要树立强烈的问题意识。在广泛的意义上，可以把“问题”定义为某个给定的智能活动过程的当前状态与智能主体所要求的目标状态之间的差距。在跨学科教学研究中，我们就是要认识到“问题”的重要性，主动地寻找问题，合理地选择问题，积极地求解问题，以实现跨学科教学研究的目标。

大学是培养人才的机构，教学是大学的中心工作。巴尔等人概括了本科教育的两种范式，并认为大学教育的目的不是传递知识，而是创设有利于引导学生自主发现规律和建构知识环境，让学生学会学习与研究［4］。克博尔认为，大学教学可分为知识传递型教学和学习促进型教学［5］。教师就是要从关注自己、关注教学内容、关注教学方法或策略上升到关注学生、关注促进学生的教学方法或策略以及关注学生的学习进步与成长上来。因为每一个专业都要跨越自己的专业界限进入尚未标界的领域才能不断进步。在此认识基础上，就有了美国斯坦福大学的“多学科”教学与研究行动，法国大学强调本科教育的“多科性”和重视基础知识的跨学科教学，德国也在积极倡导跨学科教学方式。

“理论力学”是研究物体机械运动及物体间机械作用一般规律的科学。其主要基础理论是牛顿运动定律，故又称牛顿力学。“理论力学”也是工科学生最初接触到与工程实际密切相关的主要课程之一。“理论力学”与工程技术有着紧密的联系，某些实际工程问题可以直接用“理论力学”得到解决［6］。

“理论力学”来源于传统的分析力学、固体力学、流体力学、热力学和连续介质力学的力学分支，并同这些分支结合，产生了理性弹性力学、理性热力学、理性连续介质力学、机电系统动力学等“理论力学”的新兴分支科学。“理论力学”就是这样从特殊到一般，在从一般到特殊地发展着。“理论力学”课程的地位与作用决定了它在高等工程教育中的地位与作用。

目前我国大学课程教学仍存在教学内容各自为政、相互独立的局面，“理论力学”教学也大多如此。“理论力学”的教材内容基本上停留在牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学的框架内。在“理论力学”跨学科教学与其他学科的综合方面较弱。学生对“理论力学”与其他学科之间的联系了解不多。这种传统的教学格局与当前科学技术的迅猛发展及学科的综合整体化趋势不相适应。如何改变这种被动局面？我国教育主管部门和一些高校已纷纷行动起来。“以人为本，以学生为中心”，“注意学生全面发展，改变学科本位观念”，“注意学科渗透，关心科技发展”，“宽专业，厚基础，强能力，重创造”，这些理念已逐渐被高校教师接受，并正在付诸行动。大学教学的学科渗透与融合就是高校教师顺应社会发展的综合化对复合型人才需要的一种自觉实践活动［7－9］。

21世纪仍然是新兴学科、交叉学科、高新技术学科发展的活跃时期，“理论力学”与其他学科的交叉形成新的学科在工程实际中作用日趋明显。“理论力学”作为工科院校教学的技术基础课，教学内容应形成纵向以“理论力学”为主线，横向向边缘交叉学科辐射的树形知识结构与科学知识体系。

下面根据笔者的“理论力学”教学实践、“理论力学”的课程特点和教学内容需要引入科学史、科学方法论、哲学、数学、物理、化学的相关内容，阐述“理论力学”教学中的学科渗透与融合。

一、传承科学精神，讲授经典力学发展史

历史是一面镜子，记录了时间长河的重要结点。透过这面镜子，人们可以审视过去，启迪未来。在“理论力学”绪论教学中，引入经典力学发展史，可以使学生受到历史唯物主义和辩证唯物主义教育。

力学是最早发展起来的科学之一。其发展历史可以追朔到人类文明的开始，它与人们的生产生活实际密切相关。乐器乐律，天文历法，车船舟楫，桥梁建筑，机械设计中都蕴含着丰富的力学知识，力学既是基础学科又是技术学科。它所阐明的规律既有普遍意义，同时又是许多工程技术问题的基础。现在，力学在自然科学体系中占据重要地位，它已经和数、理、化、天、地、生一起并列为七大新基础学科之一。

回顾经典力学的发展历史，不难看到，这一学科的发展并非一帆风顺，其发展过程与下面科学家的贡献密切相关。

作为英国最伟大的科学巨人，力学学科的开创人物牛顿［10］（1642－1727），他在总结前人工作的基础上，包括开普勒、伽利略等人的工作，借助他所发明的微积分，通过分析归纳将力学提升到牛顿三大定律和万有引力的高度，形成比较完整的经典力学体系。牛顿于1687年出版《自然哲学的数学原理》标志着牛顿力学的诞生。这本书拉格朗日称之为“人类智慧最伟大的产物。”从此牛顿奠定了其在科学史上的崇高地位。这可以认为是经典力学发展的第一阶段。

以后瑞士科学家约翰·伯努力（1667－1748）最先提出虚位移原理。法国科学家达朗伯（1717－1785）在他的著作《动力学专论》中提出达朗伯原理，即牛顿第二定律的另一种形式，把动力学问题简化为静力学问题。运用这种方法他研究了天体力学的三体问题，并把它推广到流体动力学中。在这一时期，另一位法国科学家拉格朗日（1736－1813）在力学方面获得辉煌成就，且对力学理论研究方法产生了深远影响。结合虚位移原理和达朗伯原理，他推导出非自由质点系的运动微分方程，即著名的第二类拉格朗日方程，也称为达朗伯－拉格朗日原理。1788年，也就是牛顿的经典著作《自然哲学的数学原理》发表约一百年，拉格朗日完成他的著作《分析力学》，开辟了经典力学第二阶段，拉格朗日力学阶段。他以变分原理和分析方法为基础，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化［11］。

经典力学发展的第三个阶段与英国科学家哈密顿（1805－1865）的工作分不开。对光学和力学之间深刻联系的思想促进了哈密顿对经典力学的贡献。1834年，哈密顿发表著名论文《一个动力学普遍方程》，它是力学发展中新的里程碑，在现代力学和物理学中有广泛应用，也标志着经典力学的第三阶段，哈密顿力学阶段的开始。它在力学方面的成就概括为两点：第一，力学的原理不仅可以按牛顿力学的方式来叙述，也可以按某种作用量的逗留值（数学上是某种泛函的极小值）方式来叙述。第二，力学的状态描述可以找到一种优美的正则形式，这种形式有着极好的数学性质。1834年哈密顿得到以偏微分方程形式表示的动力学方程，不过这个方程能应用于求解动力学问题的完整理论是1837年雅可比得到的，因此又称为哈密顿－雅可比方程［11］。

通过经典力学发展史介绍，可以使学生受到学风和励志创新教育，达到唤醒、激励、鼓舞学生的目的。

二、引入科学方法论，培养学生综合能力

在教学过程中，根据课程内容讲授的需要引入科学方法论，并将其综合应用于“理论力学”课程教学，使学生学会主动应用科学方法论解决问题。在研究方法上，抽象化、模型化、实验和推理、分析和综合、归纳和演绎等方法是“理论力学”课程中体现的重要解决问题的方法，贯彻于“理论力学”整个课程体系之中。这就要求教师在“理论力学”教学过程中，不仅要主动用方法论组织教学，还要根据教学内容把科学方法论中的一些方法结合应用，进行针对性教学。

事实上，经典力学的发展，就是牛顿自觉运用科学方法论，在总结归纳前人研究成果基础上，加之他的演绎和推理，得出经典力学基本原理的过程。经典力学的发展历史，就是牛顿运用科学方法论的经典历史写照。

理想化方法，直接证明方法和反证明方法属于科学方法论的具体方法。一个综合应用上述三种方法的例子就是虚位移原理的证明。在讲述虚位移原理之前，教师可首先介绍这三种方法。

将研究对象采用抽象化方法突出主要因素排除次要因素简化成理想的模型，用以研究原形的性质和规律的方法称为理想化方法。应用证据直接证明论题正确的方法称为直接证明方法。通过证明和论题矛盾的判断是虚假的，来证明论题真实性的方法称为反证法。

虚位移原理是分析静力学的基础，这个原理用分析的方法以及位移和功的概念建立任意质点系的平衡的充要条件，是解决质点系平衡问题的普遍原理。用这个原理解决复杂系统的平衡问题时，不必像几何静力学那样解一系列的联立方程组，而是根据具体的要求建立方程，使那些未知的但不需求出的约束力在方程中不出现，从而使运动过程得到简化［11－12］。

虚位移原理可叙述如下：具有双面约束的平衡质点系统，在给定位置上的平衡条件是作用于质点系的所有主动力，在此系统的给定位置上出发的任何虚位移上所做的元功之和等于零。虚位移原理也叫虚功原理，也称为静力学普遍原理。下面综合应用科学方法论中三种方法加以证明。

设有一质点系，它有那n个质点m1，m2，…，m3，每一个质点mi受有主动力Fi和约束力Ni，当质点系平衡时，对于每一个质点都有

设想每一个质点离开其平衡位置作虚位移δri，则有

对于整个质点系有

式（4）也是质点系的平衡充分条件。可以用反证法证明，证明过程参照文献［11］。

分析虚位移原理的证明过程，我们会发现用到三种科学方法论的方法。如果约束反力在系统的任何虚位移中的元功之和为零，则这种约束称为理想约束。理想约束本质上是一种假定，它是从许多实际约束中抽象出来的理想化模型，实际上质点也是抽象化的理想模型。虚位移原理的必要性的证明采用直接证明方法方便快捷。虚位移原理的充分性证明采用直接证明方法，很难得到结果。此时，我们调整思维方式，采用反证明方法，问题便迎刃而解。一个虚位移原理，综合运用三种方法。如果教师如此讲述，学生在学习中不仅掌握了虚位移原理，还加深了对科学方法论的认识，其独立思维和解决问题的综合分析能力也会得到提高。

贯穿“理论力学”始终的科学方法就是公理化方法。选取少数不加定义的概念和公理作为出发点，在加以严格的逻辑推理，将其建成演绎系统的方法称为公理化方法。牛顿在《自然哲学的数学原理》中系统运用公理化方法表述了经典力学理论体系。它的“哲学推理法则”是“在实验哲学中，我们必须把那些从各种现象中运用一般归纳法而导出的命题看作是准确的，或者接近于真实的。虽然可能看出与之相反的假说，但是在没有发现使得这些命题还需要进一步证实或者证明这命题出现了例外的这样一些现象之前，仍然应当如此对待。”用归纳法获得的“物体的属性，凡既不能增强也不能减弱者，又为我们实验所能及的范围内的一切物体所具有着，就应视为所有物体的普遍属性。”在牛顿的经典力学的理论体系中，这种方法被普遍使用。

牛顿认为：“凡是从现象中推导出来的任何方法，都应称为假说。而这种假说，无论是形而上学的，或是物理学的；无论是属于隐蔽性质的，或是力学性质的，在实验哲学中都没有他们的地位。”这就是说不能以假说作为基础。

然而，牛顿的科学实践事实上与他的理性存在一定矛盾。他在强调清楚与感性经验物质界联系的形而上学的东西，强调建立基于经验的命题的同时，却在试图建立的来源于相对运动的经验范围的力学公理体系中，引入与经验无直接联系的绝对时间、绝对空间这类事实上的假说作为这个理论的基础。所以在牛顿的经典力学理论体系中，虽然系统地运用了公理化方法，但并不能称其为真正意义上的公理体系［13］。公理化方法作为科学研究的一种基本方法，具有分析、总结经验知识的作用。公理化方法对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面都有积极作用。

上述公理化方法的内容可以安排在“理论力学”课程结束时讲授效果更好。

三、引入哲学思想，树立辩证的自然时空观

力学中蕴藏着深刻的哲学思想，历史上许多伟大的科学家就是伟大的思想家、哲学家。每一次科学史上的重大变革都意味着哲学思想的进步。亚里斯多德是古希腊伟大的哲学家、思想家、教育家，又是历史上著名的科学家。他对运动和力的本质的错误结论统治世界近两千年。罗素评价说：“他的权威性差不多始终是和基督教会的权威性一样地不容置疑，而且他在科学方面如在哲学方面一样，始终是对于进步的一个严重障碍。”自17世纪以来，几乎每一种认真的知识进步，都必须是从攻击某种亚里斯多德繁琐的哲学思想解放出来，牛顿力学的形成更是如此。牛顿力学理论主要有三个方面内容：其一是牛顿运动定律及其万有引力定律。其二是在牛顿运动定律及万有引力定律基础上演绎出的一系列结论及问题解决中的各种研究方法和思想方法。其三是绝对时空观。

时间和空间是人们最为熟悉的经验形式，人们的所有活动都在时间和空间中流逝。时间和空间又是最为古老、最难捉摸的哲学范畴，它与世界的本源问题相联系。时空观是关于时间和空间的根本观点。它是哲学世界观的重要内容和有机组成部分，是在人类长期的生产活动和生活实践中形成的。在中国，墨家提出了“宇”“久”作为空间和时间概念，并认识到空间、时间与具体事物运动的一定联系及空间与时间的一定联系。在西方，古希腊谟克利特认为空间是物体运动的条件。亚里士多德用“地点”概念来表示空间，认为时间是连续的。近代时空观是在自然科学发展的基础上形成的。哥白尼的日心说为唯物主义时空观的形成创造了条件。布鲁诺、伽利略主张时间、空间是物质存在的绝对形式，并提出时空无限的思想。笛卡尔指出时间的特性是持续性，空间的特性是广延性，认为广延性是一切物体的共有属性。

牛顿指出绝对时间、绝对空间的观点，系统地阐述了机械唯物主义的时空观。近代的唯物主义思想家贝克莱认为时间和空间是人的感觉的产物。康德认为时空是人们以整体感性材料的先天直观形式。黑格尔则认为时间、空间是绝对观念发展到一定阶段的产物。近代唯物主义时空观否认时间、空间的客观性，但也包含着一些辩证法的合理成分。辩证唯物主义批判地继承了以往各派哲学的时空观，指出时间和空间是运动着的物质存在的基本形式，是物质固有的普遍属性。时间和空间与运动着的物质是不可分的。辩证唯物主义承认时间和空间的客观性、绝对性和无限性，同时又承认时间和空间的具体形态和具体特性具有多样性、相对性和具体事物时空的有限性［14］。

牛顿力学三方面内容的每一方面都渗透着哲学的思想。万有引力定律是客观物质世界普遍联系的定量体现。牛顿运动三定律和万有引力定律即在此基础上演绎出的一系列结论是科学方法论具体应用的结果。至于绝对时空观，本身就是哲学问题，它是牛顿力学赖以存在的时空基础，是宏观低速条件下已被大量实践所证实的经典力学所必需的。离开了绝对时间，自然界就没有了统一的时钟。离开了绝对空间，宇宙中就没有了统一的尺度。牛顿力学的同时性也就无从谈起。长度、时间、质量三个基本力学量都将依赖于参考系，导致广泛应用于科学技术各个领域的牛顿力学失去时空依据。但是脱离宏观低速的假定，牛顿的绝对时空观就出现问题。

爱因斯坦对于经典力学的绝对时空观提出质疑，给牛顿力学以开拓。提出了相对论原理和以相对论原理为基础的相对时空观，建立了相对论力学。牛顿力学与相对论力学相互交融，绝对时空观作为狭义相对论特例存在于相对论时空之中，狭义相对论的四维闵氏空间是绝对时空观三维欧式空间在继承基础上的改造。相对论力学是对牛顿力学理论的包容和发展，两者之间构成普遍性和特殊性的关系。爱因斯坦自我评价说：“与其说我是物理学家，不如说我是哲学家。”

在绝对时空观中，运动和静止本来是相对而言的，没有被认为是“静止”的标准，就没有“运动”的概念。运动速度为零的参考系就可以认为是静止参考系。惯性系与非惯性系也是相对而言的，没有“惯性系”作为参考，就没有“非惯性系”的概念。加速度为零的非惯性系就可以认为是惯性系。所以绝对时空观也包含有相对性思想。应该承认，绝对时空观仅是牛顿力学的时空信念，相对性思想才是牛顿力学的生命力和散光点［15－17］。

只有承认宏观低速条件下绝对时空观的正确性，站在跨学科层面开展教学，才能完成好时空观的教学任务。

通过这种讲授与介绍，学生开阔了思路，提升学科综合素养，也会激发学生的探索和求知欲望。对培养辩证唯物主义的世界观和方法论也大有裨益。

哲学思想的介绍和对比不应绝对受“理论力学”内容的限制。这种哲学思想可以贯穿于不同学科之间，对所有学科都有指导意义，在大学物理和“理论力学”教学中可做相互对比介绍。

四、引入数学工具，培养数学思维

牛顿以《自然哲学的数学原理》给经典力学命名，足以说明经典力学与数学的关系。

纵观力学发展史，力学的发展与数学是分不开的，力学的发展是与数学同步的。有什么样的力学就有什么样的数学，许多力学家本身又是数学家，牛顿除了在经典力学方面的卓越贡献外还发明了微积分。

“理论力学”是数学的一个组成部分，也是各种应用力学的基础。它一般应用微积分、微分方程、矢量分析等数学工具对牛顿力学作深入阐述。由于数学更深入地应用于“理论力学”，才使其更加理论化。

数学是研究数量关系与空间形式的科学。它是科学的语言，是一切科学和技术的基础。数学为“理论力学”提供描述物体运动现象与规律的语言与工具。反过来，“理论力学”也为数学概念的建立提供原形。事实上，数学中的不少概念首先是由力学家提出，然后再由数学家逐步严谨化。例如，牛顿与莱布尼兹分别从运动学和几何学出发，各自独立提出微积分。数学的分支矢量分析也是如此［14］。

根据数学与“理论力学”课程特点，可以在数学与“理论力学”教学中搭建一个桥梁，使学生从可能熟悉的内容与经历出发，以便跟他们已有的知识结构联系起来，这应是教师重点研究的问题。新的内容的提出应该有的放矢，与实际的应用有关，并与已有的知识结构联系起来，而不是僵硬地提出来。如果学生能看到他们先前已掌握的知识或理论有用，可以用来演绎、推理新课程的命题，他们就会更加有积极性。这样学生才会强烈主动地去学，并自主填补知识的空白。

桁架是工程中应用广泛的一种结构，也是“理论力学”静力学部分一个教学内容［18］。杆件轴线都位于同一平面内的桁架，称为平面桁架。平面桁架可按下述方法组成：以三根杆用三个铰链连接的三角形为基础，这个三角形称为基本三角形，如图1a所示。以后每增加一个节点，相应增加两根不在同一直线上的杆件，它们与原几何图形的两个节点或一根杆，又构成一个新的三角形如图1b所示。依此类推就构成了一个几何形状不变的结构，这个结构就是一个简单的平面桁架，如图1c。

按照上述构成规律，从基本三角形出发，以后增加的杆数总是新增节点数的两倍，因此，平面简单桁架的节点数n与杆数m之间存在如下关系

关系式（11）是一个典型的数列问题。一般教材上都是直接给出表达式后再加以说明，沿袭的是典型的演绎式教学方式。学生总有“知其然，不知其所以然的混沌状态”。笔者经过多次教学实践，在此引入数学归纳法开展教学，解决了学生的困惑，也收获了研究性教学的乐趣。

下面用数学归纳法证明式（5）。

（1）当m＝n＝3时，对应基本三角形，将m＝n＝3代入式（5），有3＝3恒等式，命题式（11）自然成立。

（2）设n＝k（k＞3的整数）时，命题式（5）成立。即

将n＝k＋1代入式（11），得

式（7）说明，在k个节点基础上再增加1个节点，杆件数就要增加2。

综合（1），（2）两个步骤，由数学归纳法知，命题式（5）成立。

动力学是“理论力学”的一部分。韦达定理在动力学特征值反问题中有精彩应用。

已知振动系统的几何参数与物理参数，求振动系统的固有频率，为动力学正问题。已知振动系统的固有频率和部分物理参数，求振动系统的剩余参数，为动力学逆问题。动力学逆问题难度大，应用广。下面是笔者研究性教学实践涉及动力学逆问题的一个例子。

图2a所示为两自由度无阻尼自由扭转振动系统，I1和I2代表两个集中质量的转动惯量，K1和K2代表两个轴段的线性扭转刚度，轴段的轴段的质量忽略不计，求系统的固有频率，这是动力学正问题［19］。

按线性振动理论的刚度法，可得系统的转动惯量矩阵和刚度矩阵。

对应特征值问题为

式中α代表扭振角位移列阵。

系统的特征值可转化为下面矩阵的特征值：

令上式矩阵对应的行列式等于零，可得

式（11）是关于系统固有频率λ2的一元二次方程，按照一元二次方程根与系数关系，即韦达定理，可得系统固有频率与物理参数之间的关系：

若已知系统的固有频率λ12和λ12，求系统的物理参数，就属于动力学逆问题。这是笔者在工程力学教学中引入的研究性学习课题之一。它是一个开放性课题，没有现成答案。学生必须在研究性学习过程中主动获取知识，综合应用知识，通过探究性、互动性学习过程，才有可能解决问题。经过几轮研究性教学与学习实践，我们巧妙解决了此问题。结果叙述如下。

若已知系统的固有频率λ12和λ22及其中I1、I2、K1、K2四个物理参数中的一个，求系统的其余3个物理参数，要应用式（12）和式（13），2个方程3个未知量，从数学上讲是无确定解的。如何根据振动系统的力学模型和数学方法之间的关系，解决上述问题，需要教师与学生的运用智慧，建立合理的补充方程。

将图2a中I固定，则系统变成单自由度振动系统，如图2b所示。此时系统的固有频率为

将式（14）代入式（12）和式（13），得

分析式（15），只需知道I1、I2、K1、K2四个物理参数中的一个，便可以由式（15）求出系统其余的三个物理参数。

应用一元二次方程根与系数的关系－韦达定理，将力学模型与物理概念结合，创造性的引入补充方程，解决单纯从数学或力学均不能解决的动力学逆问题，这是初等数学与动力学在研究性教学中完美结合。

牛顿从运动学角度发明发明微积分，运动学是“理论力学”的一部分。微积分在“理论力学”中的应用广泛。“理论力学”是高等数学的直接用户，高等数学的概念渗透到“理论力学”的每一部分。例如，运动学中的速度、加速度的引入过程。动力学中虚位移原理、动力学普遍方程和拉格朗日方程的导出等。“理论力学”教学离不开数学，“理论力学”回馈数学的也很丰厚。首先学生在“理论力学”的学习中看到数学的应用前景，可以了解深邃的数学意境，进一步了解具有丰富内涵和高度概括力的数学语言。

协调数学与“理论力学”的冲突，使用更加适合的教材，对教学内容进行重构，使用更恰当的教学方法，也只能说解决了表面的问题，更深层次的问题是关于数学思想与力学思想的水乳交融问题。

五、引入物理思维方法，促进学科交叉发展

物理是研究物质结构、物质相互作用和运动规律的自然科学，是人们对无生命自然界中物质的转变的知识做出规律性的总结。物理作为自然科学的重要分支，不仅对物质文明的进步和人类对自然界认识的深化起了重要的推动作用，而且对人类的思维发展也起到了不可或缺的影响。从亚里斯多德时代的自然哲学，到牛顿时代的经典力学，直到现代物理中的相对论和量子力学等，都是物理学家科学素质、科学精神及科学思维的有形体现。大学物理是理工科专业开设的一门公共基础课，涉及的学科专业广，人数多，且与后续对接的课程多，“理论力学”是大学物理的同步课。

在学习“理论力学”之前，学生基本力学知识是建立在初等数学基础之上。而大学物理课程中的基础力学知识，从某种意义上讲，在于强调力学在物理学发展史上的地位，且“力”的概念早已渗透到物理的更多领域（如电磁力学、热力学、量子力学、机电系统动力学）。另外从物理的发展角度看，牛顿力学、爱因斯坦相对论、普朗克量子力学步步发展构成了物理学的理论精华，且它们对人类思想的进步产生了巨大的推动作用。但是随后物理侧重于研究热、电、磁、分子和原子等的运动，而力学则在工程技术的推动下按自身的逻辑发展，逐步从物理学中独立出来，直接服务于工程学。其分析方法、理论体系成为工程的支撑。这样大学物理课程无论在力学基础知识的系统论述方面或是在力学知识工程应用方面都没有做更多的安排，这一任务正好由“理论力学”完成。

另外，在强调“理论力学”与物理学的关系上，两者既相互独立又相互联系。从学科渗透与融合的角度开展教学，“理论力学”与大学物理是最佳组合。

下面是笔者将经典力学拉格朗日方程与大学物理的基尔霍夫定律结合，开展跨学科研究性教学的教学实践，得到推广形式拉格朗日麦克斯韦方程的又一推广形式。

1873年麦克斯韦在他的电与磁的论文中，应用拉格朗日方法，第一次描述了机电系统的运动方程。经典的拉格朗日麦克斯韦方程是基于电场能We和磁场能Wm线性情况下得到的。文献［20］推广了经典的拉格朗日麦克斯韦方程，使其适用于磁路非线性特点。无论是经典的拉格朗日麦克斯韦方程，还是其推广形式，均是以电荷、电流、位移、速度作为广义坐标。突破了在机电系统动力学建模中均以电荷量、电流、位移、速度作为广义坐标的理论思维定式，是机电系统动力学理论发展的需要。

从动力学角度分析，可以把机电耦合系统看成由许多相互连接并受到一定约束力的质点或元件所构成。当机电耦合系统中存在电容、电感等元件时，可以选电荷、电流作为电系统部分的广义坐标，来建立机电耦合系统的运动方程。经典的拉格朗日麦克斯韦方程都是基于此建立的。若将电荷改为电容器两端电压作为广义坐标，其系统的运动方程形式如何［21］？这就是我们开展“理论力学”跨学科教学的最佳切入点。

对于具有集中参数和元件的机电耦合系统，运动方程通常由两部分组成：一组是电路方程；一组是机械方程。下面选取电压、磁链作为机电耦合系统电部分的广义坐标，推导系统的运动方程，推导过程参见文献［21］。

这部分内容是笔者在“理论力学”和机电系统动力学教学与研究中得到的理论研究成果，说它具有偶然性，是因为只有从事“理论力学”与机电系统动力学教学与研究的人才可能得到机电耦合系统的运动方程。笔者认为偶然性的背后存在必然，只要在在教学与研究中注意学科的交叉渗透与融合，就会取得好的教学效果，就会在交叉边缘学科有所建树。机会成就有心的人，把握住机会就成功了一半，偶然的东西带给我们的可能就是灵感和机遇，所以说偶然性是科学的朋友。

六、“理论力学”自由度概念在物理化学中的迁移

物理化学又叫理论化学，是化学学科的一个分支。物理化学的先导课程是高等数学、大学物理和“理论力学”。对于以物理化学为后续课程的基础课教师要特别注意施教对象的专业特点。“理论力学”与物理化学的一个重要联系时吉布斯相律［22］，它表述为：“只受外界温度和压力影响的相平衡系统，其自由度数目等于组分数减去平衡的项数加2。”用公式表示为

式中f表示相平衡系统的自由度数；φ表示相平衡系统的相数；k表示相平衡系统的组分数；2代表相平衡系统温度和压力2个变数。

吉布斯相律看似简单，它几乎成为物理化学最难理解内容，它还是处理相平衡问题的核心理论。关于吉布斯相律讲授策略，仁者见仁，智者见智。笔者认为需要公共基础课与物理化学课教师的共同智慧。只要教师从学生的认知结构出发，通过相关知识的拓展或迁移，还是可以巧妙解决的。

根据数学知识，对于一个数学系统，独立变量数等于总变量数减去平衡条件的限制数。

用公式表示为

式中f表示独立变量数，即自由度数；m表示总变量数；p表示平衡条件的限制数。

数学系统是一个广义系统，它可以是数学系统本身，也可以是力学系统、生物系统、化学系统，以及更为复杂的社会系统。上述式（17）表述应用于“理论力学”的非自由质点系动力学，就有如下表述：

对于具有n个质点和k个几何约束的力学系统，描述这个系统的独立变数的个数，即自由度数f等于3n减去l，即

式中f表示自由度数；3n表示总变量数，n为质点个数；l表示几何约束数。

对于以物理化学为核心课程的学生来讲，式（17）、式（18）是其已经掌握的知识，式（16）是在已有的知识结构上要学的新知识。可以通过式（17），（18）两条途径，将自由度概念迁移拓展至式（16）。

从式（17）出发，对于一个只受外界温度和压力影响的相平衡系统，将组分数k与温度和压力两个变数之和看做系统的总变量数，将相数φ看做平衡条件的限制数就自然得到式（16）。

从式（18）出发，非自由n质点力学系统总变量数为3n，对应相平衡系统组分数k与温度和压力两个变数之和；几何约束数l对应相数φ。依此对应关系就自然得到式（16）。

如果物理化学课教师掌握数学和“理论力学”相关知识，并将不同学科相关自由度方面知识进行融合与渗透，吉布斯相律不用讲解就可以触类旁通，反之，对于教授以物理化学为后续课程的“理论力学”或大学物理课教师，在讲授有关自由度内容时应主动联系吉布斯相律，说明自由度概念可以在物理化学中得到迁移和拓展。这样既能大大节约学时，给学生以自主学习时间，又能取得好的教学效果。

七、“理论力学”模型在骨伤科学中的应用

Sastry曾对创伤人员进行调查，分析了87174例样本，发现颌面部创伤率占34%［23］。颌面部结构复杂，提高临床救治水平和增强医疗防护手段的一个重要内容是加强对颌面部损伤机制的研究。薄斌在颌面骨损伤研究方面取得进展，文中用模态分析的方法建立人颅颌面骨骼系统的动力学模型。通过互易性验证，表明离体颅骨满足线弹性假设。通过对实验数据回归分析，求出颅骨前4阶模态动力学参数，建立了颌面骨骼系统动力学模型。应用此模型还可以进行各种撞击条件的仿真实验。［24］

远端骨折多数由间接暴力跌伤所致。从跌伤的体位分析，可以将其分为伸直型和屈曲型两种。文献［25］以跌伤时桡骨远端伸直型为例对桡骨进行了力学分析。

取桡骨为研究对象，伸直位跌伤时桡骨受力有：地面对人体的反冲力经腕关节对其的作用力N，方向偏向背侧上；肘以上部分身体通过肱桡关节对其的作用力F，方向偏向背侧下，在桡骨的重心c处，作用有惯性力－ma，方向偏向掌侧下。在跌地后尚未发生骨折瞬间，在忽略桡骨重力条件下，可以将桡骨视为平面汇交力系，根据达朗伯原理和牛顿第二定律，可以列出桡骨的动力学平衡方程。文中还利用截面法分析了桡骨远端伸直型骨折骨折端的错动趋势为远端近掌。

八、结论

在“理论力学”绪论课教学中引入经典力学发展史，使学生受到励志与创新教育。根据讲授内容的需要主动引入科学方法论，进行针对性教学，培养学生综合能力。绝对时空观是“理论力学”的基石。引入哲学思想和爱因斯坦的相对时空观进行主题教学，使学生树立辩证的自然时空观。根据“理论力学”与数学的特点，在“理论力学”与数学教学中搭建一个桥梁，使数学思想与力学思维有机结合。在“理论力学”动力学部分引入研究性教学方法，提出科学技术中涉及交叉学科的问题，开展研究性教学。并将自由度概念迁移拓展至物理化学吉布斯相律教学。

以上从“理论力学”与科学史、科学方法论、哲学、数学、物理、化学的相关内容出发，叙述“理论力学”教学中的学科渗透与融合，提出的基于“理论力学”跨学科问题式教学模式。“理论力学”是理工科学生的必修课，开展跨学科教学，学生受益面大。提出的基于“理论力学”跨学科问题式教学模式，会对“理论力学”教学改革与复合型人才的培养起到推动作用，同时对其他学科的跨学科教学也会有引领和示范作用。

“理论力学”问题与其他学科的全方位碰撞，还会产生新的理论方法。为了在有限的课堂教学中获取更高的教学效益，除“理论力学”的教学内容要改革外，跨学科的教学研究更需要加强，以便课程能有机的结合起来。只有我们站在一个更高的层面上，也就是站在跨学科层面上来看待这个问题，这个问题才能得到解决。

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