王嘉谋，王尚户，何莉敏

(内蒙古科技大学数理与生物工程学院，内蒙古包头014010)

随着研究领域和研究深度不断扩展，众多科研工作者逐渐发现常系数非线性发展模型并不能刻画众多复杂非线性现象的传播特性，故为描述孤立波在不同介质中的演变特性，人们纷纷提出众多含有变系数的模型，如变系数 Korteweg-de Vries(KdV)方程、变系数 Schrö dinger方程、变系数Kadomtsev-Petviashvili方程、变系数 Gardner方程等.文中则以在很多物理环境中广泛应用的变系数5阶KdV方程为研究对象，其形式如下［1-2］:

式中:u(x，t)为孤立波的振幅;f(t)，g(t)，h(t)，k(t)和l(t)分别为实解析函数.方程(1)可用于描述量子力学、非线性光学、江河等领域中存在非均匀传输介质孤立子的传播，包括如下特殊情况:

1) 当f(t)= α，g(t)= β，h(t)= γ，k(t)=1和l(t)=0时，方程(1)变为常系数5阶KdV方程:

式中:α，β和γ为任意的非零实常数，而当α =30，β =20和γ =10时，方程(2)为Lax方程［3］;当α =β = γ =5时，方程(2)为Sawada-Kotera方程［4］;当α=β=25和 γ =10时，方程(2)为Kaup-Kupershmidt方程［5］;当 α =2，β =6 和 γ =3时，方程(2)为Ito方程［6］.上述前3个方程都是Lax可积的，故具有无穷守恒律，而由于Ito方程并不是完全可积的，故只有有限的守恒律.

2)当l(t)=0时，方程(1)变为

通过齐次平衡方法和从变系数模型到常系数模型的变换，在文献［2］中已经推出该方程的Lax对、Darboux变换和一系列解析解.

文中首先利用Ablowitz-KaupN-ewell-Segur(AKNS)变换推导出方程(1)的Lax对，进而构造自-Bäcklund变换和一系列的孤子解，最后分析讨论不同变系数函数项对孤立波传播演变特征的影响.

1 变系数5阶KdV方程可积性质

1.1 推导Lax对

根据AKNS系统［7-8］，可假设方程(1)具有如下形式的Lax对，即其线性本征值问题为

式中:

式中:φ =(φ1，φ2)T为实列向量;λ 为与x和t无关的谱……