李雁南

（大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028）

0 引 言

纽结理论从19世纪发展至今，取得了极其丰富的结论.而关于纽结的局部变换也有很多，如交叉点变换（crossing change）、＃－变换（＃－move）及Δ－变换等.这些变换都能够使纽结变成平凡结.本文将讨论一类新的变换——（m，n）－变换.改变纽结交叉点的上下关系是纽结理论研究中的一种常用的技术手段，如交叉点变换和＃－变换.一个纽结可以通过交叉点变换变为平凡结的最少次数称为这个纽结的解结数（unknotting number）.解结数的研究一直都是纽结理论研究中的基本问题.本文所定义的（m，n）－变换是交叉点变换与＃－变换的推广.影.2重点也称为纽结的交叉点.通常用纽结的正则投影图来直观地表示一个纽结.在画纽结的正则投影图时，上面的线用一条直线画出，而在下面的线则用一个断开的线表示.

关于纽结的基本定义，还可以参见一些经典教材［1－3］.在下面的讨论中，本文将不加区别地使用纽结K与其正则投影p（K）.

定义1 如图1所示的3种变换称为Reidemeister变换.

1 纽结的基本定义

从S1到R3的光滑嵌入称为纽结.设K是R3中的一个纽结，R2是R3中的一个平面，并且p：R3→R2是从R3到R2的正交投影映射.称p（K）是K的投影.设c是投影上的一点，如果p－1（c）∩K包含n个点，就称c是一个n重点.如果p（K）只含有有限个2重点，并且对每个重点c，存在c的充分小的邻域N（c）使得p作用在p－1（N（c）∩L）的两个分支上是横截相交的，则称p（K）为K的正则投

图1 Reidemeister变换Fig.1 Reidemeister moves

定义2 如果一个纽结可以通过有限次Reidemeister变换变为无重点的纽结，则称这个纽结为平凡结.

定义3 对于某种变换，如果对任意纽结的正则投影图，都能使其经过有限次Reidemeister变换及这种变换后变为平凡结，就称这种变换为可平凡化变换（unknotting operation）.

2 交叉点变换与双交叉点变换

定义4 设K是一个纽结，如果把K的一个交叉点的上下两条线段交换，就能得到一个新的纽结，称这种变换为纽结的交叉点变换，如图2所示.

图2 交叉点变换Fig.2 Crossing change

交叉点变换是纽结变换中研究较为广泛的一种变换.Scharlemann［4］证明了所有解结数为1的纽结都是素纽结.对于交叉点变换，有如下引理.

引理1 交叉点变换是可平凡化变换.

证明 见文献［1］中定理11.1.2.

定义5 设有一个定向纽结，且其在局部有一个如图3所示的“＃”字形的结构，同时改变4条线的上下关系的变换称为＃－变换.

图3 ＃－变换Fig.3 ＃－move

＃－变换最早由 Murakami［5］给出.对于无定向纽结，可以定义以下类似的变换：

定义6 如果一个纽结在局部有一个如图4所示的“＃”字形的结构，同时改变4条线的上下关系的变换称为双交叉点变换.

引理2 双交叉点变换是可平凡化变换.

证明 对于任意给定的纽结K，赋予其一个定向.由文献［1］中定理11.1.6可知，其一定可以通过＃－变换变成平凡结.从而对未定向的K，其一定可以通过双交叉点变换变为平凡结.

图4 双交叉点变换Fig.4 Double crossing change

3 （m，n）－变换

定义7 设一个纽结K的局部存在一个如图5所示的结构，即m条线在下方，n条线在上方.同时把在下面的m条线挪到n条线的上方的变换称作（m，n）－变换.

图5 （m，n）－变换Fig.5 （m，n）－move

由上面的定义可以看出（m，n）－变换是交叉点变换和双交叉点变换的推广.其中交叉点变换为（1，1）－变换，而双交叉点变换为（2，2）－变换.

引理3 （1，2）－变换和（2，1）－变换是可平凡化变换.

证明 设K是一个纽结.由引理2可知，其一定存在一个投影图，可以通过a个双交叉点变换变为平凡结.观察到每个双交叉点变换可由两个（1，2）－变换得到，如图6所示，因此K一定可以通过2a个（1，2）－变换变为平凡结，即（1，2）－变换是可平凡化变换.同理，由对称性可知（2，1）－变换也是可平凡化变换.

定理1 对任意的正整数m和n，（m，n）－变换是可平凡化变换.

证明

（1）设K是一个纽结.由引理1～3可知，（1，1）－变换、（1，2）－变换、（2，1）－变换及（2，2）－变换都是可平凡化变换.

（2）设纽结K可经过（m0，n0）－变换变成平凡结.由图7可知每个（m0，n0）－变换都可以用（m0＋2，n0）－变换代替.因此K一定可以通过（m0＋2，n0）－变换化为平凡结.同理可知K一定也可以通过（m0，n0＋2）－变换化为平凡结.

图6 两个（1，2）变换等于一个（2，2）变换Fig.6 Two（1，2）－moves are equal to one（2，2）－move

图7 （m0，n0）－变换等价于（m0＋2，n0）－变换Fig.7 （m0，n0）－move is equal to（m0 ＋2，n0）－move

通过归纳可得，对任意的正整数m和n，K一定可以通过（m，n）－变换变为平凡结.

4 结 论

设纽结K的投影图的局部存在着m条线在下方，n条线在上方的结构，将下面的m条线挪到n条线的上方的变换称作（m，n）－变换.本文证明了对任意纽结及任意正整数m、n，一定可以通过有限次Reidemeister变换和（m，n）－变换把这个纽结变为平凡结.

［1］Kawauchi A.A Survey of Knot Theory［M］.Basel：Birkhauser Verlag，1996.

［2］Burde G，Zieschang H.Knots［M］.Hawthorne：Walter de Gruyter，1985.

［3］Rolfsen D.Knots and Links［M］.Berkeley：Publish or Perish，Inc.，1976.

［4］Scharlemann M.Unknotting number one knots are prime［J］.Invented Mathematics，1985，82（1）：37－55.

［5］Murakami H.Some metrics on classical knots［J］.Annals of Mathematics，1985，270（1）：35－45.