郎开禄，陈 振

(楚雄师范学院数学系，云南 楚雄 675000)

文［1］给出了积分中值定理及广义积分中值定理，文［2］给出了关于定积分的两个重要结果，文［3］引入了定积分中值函数，并讨论了积分中值函数的性质及应用，获得了一系列深刻的结果。受文［3］的启发，在本文中我们引入了矩形区域上二重积分中值函数的概念及Rn中长方体区域上重积分中值函数的概念，并讨论获得了二重积分中值函数的性质，并进一步获得了n重积分中值函数的性质。

2.二重积分中值函数

2.3 二重积分中值函数的性质

2.3.5 可导性

(2)，(3)，(4)同理可证。

3.n重积分中值函数

3.1 n重积分中值定理

在文［4］中给出了n重积分中值定理及广义n重积分中值定理。

定理23［4］若f(x1，x2，…，xn)在有界闭区域V⊂Rn连续，g(x1，x2，…，xn)在V可积且不变号，则至少存在点(ζ1，ζ2，…，ζn)∈ V，使得

3.2 n重积分中值函数

在本文中，我们研究引入n重积分中值函数。

定义6 设f(x1，x2，…，xn)在有界闭区域V⊂Rn连续，g(x1，x2，…，xn)在V可积且不变号，则存在点(ζ1，ζ2，…，ζn)∈ Vx1x2…xn⊂ V，使得

为 f(x1，x2，…，xn)，g(x1，x2，…，xn)在 V 的 n 重积分中值函数。

定义7 设f(x1，x2，…，xn)在有界闭区域V⊂Rn连续，g(x1，x2，…，xn)在V可积且不变号，则存在点(η1，η2，…，ηn)∈ Gx1x2…xn⊂ V，使得

为 f(x1，x2，…，xn)，g(x1，x2，…，xn)在 V 的 n 重积分中值函数。

3.3 n重积分中值函数的性质

关于n重积分中值函数，在本文中，我们同样可获得下列性质。

3.3.1 中值性

定理 24 ζk(xk)，k=1，2，…，n 满足

其中 Vx1x2…xn={(t1，t2，…，tn)|ak≤ tk≤ xk，ak≤ xk≤ bk，k=1，2，…，n}。

定理25 ηk(xk)，k=1，2，…，n 满足

3.3.2 单调性

定理 26 (1)ζk(xk)在［ak，bk］单调增加，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在［ak，bk］单调增加，k=1，2，…，n 。

3.3.3 可积性

定理 27 (1)ζk(xk)在［ak，bk］可积，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在［ak，bk］可积，k=1，2，…，n 。

3.3.4 连续性

定义 8 设 f(x1，x2，…，xn)定义在 V={(x1，x2，…，xn)|ak≤ xk≤ bk，k=1，2，…，n}。若 ∀(x1，…，x'k，…，xn)，(x1，…，x″k，…，xn)∈ V ，当 x'k＜ x″k时，有

则称 f(x1，x2，…，xn)在 V 关于 xk偏严格单增，k=1，2，…，n 。

定理28 (1)ζk(xk)在 ak点右连续，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在 bk点左连续，k=1，2，…，n 。

定理 29 设 f(x1，x2，…，xn)在 V={(x1，x2，…，xn)|ak≤ xk≤ bk，k=1，2，…，n}关于 xk偏严格单增，则

(1)ζk(xk)在［ak，bk］连续，k=1，2，…，n;

(2)ηk(xk)在［ak，bk］连续，k=1，2，…，n 。

［1］华东师范大学数学系编，数学分析 (第三版)(上册)［M］.北……