解永生 汪明亮 周磊磊

(中国科学院上海微系统与信息技术研究所 无线传感器网络与通信重点实验室，上海 200050)

随着对终端移动性需求的提升，无线移动环境中的信道估计技术成为正交频分复用(OFDM)系统的研究热点.多普勒频移会破坏正交频分复用系统子载波间的正交性，引起子载波间干扰(ICI)［1］.因此有必要准确地估计时变信道信息，降低ICI 导致的系统性能损失.文献［2］指出，OFDM 系统的大部分能量泄漏集中在相邻子信道中;同时子载波的ICI干扰则大部分来自于临近子信道.因此，时变信道矩阵可以认为是近似限带的，间距较远的子载波引入的ICI 干扰可以忽略.虽然这一假设大幅度地降低了信道估计算法的复杂度，但其性能同样遭到很大的损害.

在OFDM 系统的接收端加入窗函数，可以增强时变信道的限带特性.该方法利用窗函数将信号的ICI 干扰集中在临近的子载波中，由此降低远端子载波对信号的ICI 干扰.文献［3-7］利用窗函数降低频偏产生的ICI 干扰，其亦可用于消除时变信道的ICI干扰.文献［8-11］则具体研究了多种窗函数消除ICI 干扰的能力，结果表明，窗函数可以将系统的ICI干扰集中到临近的载波中，降低信道均衡的复杂度.文献［9］改进了基于相关编码的干扰自消除方法，其等效于在发送端加入窗函数.文献［10-11］在发送端增加了循环前导码和循环后导码，在接收端对加窗后重叠部分的时域采样点进行叠加，表现出良好的抵抗ICI 干扰的能力.文献［12］以信号干扰功率比(SINR)最大化为优化目标，推导出了接收端窗函数的表达形式.文献［13］则在指数和(SOE)受限的条件下，以最小限带近似误差(MBAE)为准则，推导出最优窗的表达式.这两种窗函数的波形基本上是一致的.

Jeon 等［14］提出，当多径衰落信道的时变性较小(归一化多普勒频移小于0.1)时，OFDM 符号时间内的信道是近似线性变化的.OFDM 系统的接收端加入窗函数，一方面优化了信道的限带特性，但也额外地加入了时变性.因此，加窗后需要重新考虑时变信道的线性模型(LTV 模型).文中将窗函数与信道的时变性隔离开来，提出了加窗- 线性信道(W-LTV)模型.该模型的基函数与窗函数有关.随后提出了该模型下的简化信道估计算法，可降低运算量.

1 信号模型

在OFDM 系统的接收端加入窗函数，可以有效地降低OFDM 系统子载波的频率弥散现象.

图1 为OFDM 系统的接收端加窗原理框图.图中IFFT 表示傅里叶逆运算.OFDM 系统的时域信号表达式为

式中:N 为OFDM 系统中快速傅里叶变换(FFT)的点数;X(k)为第k 个子载波上传输的复信号.

图1 加窗OFDM 系统的原理框图Fig.1 Block diagram of OFDM system with a receiver window

为了消除符号间干扰(ISI)，加入了长度为G 的循环前缀.循环前缀的长度大于信道的最大时延扩展.则去除循环前缀后的接收信号为

式中:L 为时变信道的径数;h(n，l)为第l 径的信道参数;z(n)为高斯白噪声;((n- l)N)表示取模运算.为便于描述，上式可以改写为矩阵的形式y =hx+z.其中，x 和y 同为N ×1 维的向量，分别表示时域发送信号与接收信号;h 为信道的时域矩阵;z为高斯白噪声.

加入窗函数后，接收信号为

式中，Δw为窗函数矩阵，其为对角阵;hw为等效的信道时域矩阵;zw为限带高斯白噪声.对上式进行FFT变换，得到频域表达式为

式中:X、Y、Z 分别为发送信号、接收信号和高斯白噪声的频域向量;W 为窗函数的频域矩阵，W=FΔwFH，F 为傅里叶变化矩阵，FH为对应的转置矩阵;Hw为等效信道频域矩阵，Hw=WH;Zw为频域的限带高斯噪声.

为便于分析，定义Hw(k，m)=w(k-m，m).其中，Hw(k，m)表示矩阵Hw中k 行m 列的元素.则

式中，d=k-m，w(n)为窗函数的参数.那么，ICI 干扰的方差为

信道矩阵H 是近似限带的，间距较远的子载波引入的ICI 干扰可以忽略.设限带后的信道矩阵为B，则有B=H ◦T(Q).符号◦表示点乘运算，T(Q)为限带开关矩阵.该矩阵为Toeplitz 矩阵，首列向量为，带宽为2Q+1.Q 为限带参数，它最终决定了限带信道矩阵B 的带宽.文献［12］研究了Q 的取值对信道估计性能的影响.通常来说，Q 要远小于系统的子载波数N.对于LTV 信道模型，其取值为1 或者2.

在OFDM 系统中加入窗函数，目的在于增强时变信道的限带特性，进而降低较远子载波的ICI 干扰.加窗后的等效信道频域矩阵为Hw，则等效限带信道矩阵Bw=HwT(Q).为增强信道的限带特性，文中优化目标为经过仿真可以证明，常规的窗函数(汉明窗等)即可使得目标函数成立.

2 算法原理

当时变信道的归一化多普勒频移小于0.1 时，OFDM 符号内的信道可以近似为线性时变信道(LTV).而LTV 模型又可以分为单折线LTV 模型和双折线LTV 模型［15］.在OFDM 系统的接收端加入窗函数，优化信道限带特性的同时，也会额外地引入时变性.因此，利用LTV 信道模型进行信道估计时，要考虑到窗函数对基函数带来的影响.

采用单折线LTV 模型时，时域信道响应可以表示为［15］

式中:hmid为OFDM 符号中心时刻的信道响应;α 为信道斜率组成的Toeplitz 矩阵;M 为时域基函数矩阵，其为对角矩阵.

采用双折线LTV 模型时，时变信道响应可以表示为［15］

式中:αpre为折线1 的信道斜率矩阵，αnxt为折线2 的信道斜率矩阵;Mpre和Mnxt为基函数矩阵，且M =Mpre+Mnxt.

首先分析单折线LTV 模型下的信号，然后将结果推广到双折线模型.如果直接采用单折线LTV 模型对加窗后的等效信道进行估计，即假设系统的时变性只由信道的时变性引起的，则等效频域信道矩阵为

式中:Hw，mid为加窗后中心时刻的等效信道矩阵;C 为频域基函数矩阵，C =FMFH;αw为等效的时域斜率矩阵，αw=Δwα;Aw为等效的频域斜率矩阵.由上式可知，若假设系统的时变性均是由信道引起的，那么基函数矩阵保持不变.因此可以采用文献［15］直接求解等效斜率矩阵，获取信道的估计.由于没有考虑到窗函数的影响，该方式的性能较差.尤其当窗函数幅度变化剧烈时，该方法可能会完全失效.

另一方面，可以将窗函数引入的时变性单独考虑.那么，等效信道频域矩阵Hw可以写为

式中:A 为频域斜率矩阵;Cw为加窗后等效的基函数矩阵，Cw=WC;Hmid为hmid的频域形式，表示中心时刻的频域信道矩阵.通过等效基函数矩阵，可以将窗函数引入的时变性与信道的时变性独立开来，从而保证信道估计的准确性.W 和Cw的表达式分别为

式中，w(p)为窗函数的系数.优化后的模型即称为W-LTV 模型.它的基函数是由窗函数和子载波位置共同决定的.利用文献［15］的方法直接求解原始的斜率矩阵，最终可以获取式(10)表示的信道响应，完成信道估计.

由式(10)可知，Hmid和A 均为对角矩阵，因此Hw的限带特性完全取决于W 和Cw.而W 和Cw均为Toeplitz 矩阵，该矩阵完全是由其首列向量决定的.因而，Hw的限带特性完全取决于式(11).由此可知，通过选择适合的窗函数，可以使得式(11)的限带特性优于矩形窗的限带特性.

将该结论推广到双折线模型，其等效信道响应为

式中，Hw，mid= WHmid，Apre和Anxt为对角斜率矩阵，Cw，pre、Cw，nxt为改进后的基函数矩阵参数.改进的基函数矩阵为:

从式(13)可以看出，基函数矩阵不仅与子载波的位置有关，还与窗函数有关.窗函数是事先设计得到的，因此计算上述基函数同样可以事先设计得到，不需要额外的硬件资源.传统OFDM 系统的窗函数为矩形窗，此时上式的基函数矩阵与文献［15］一致;当选择其他函数时(如汉明窗)，可以有效地降低ICI 干扰.

3 简化算法

等效信道矩阵Hw为N×N 的方阵，利用式(12)计算信道矩阵时，至少需要3N2个复乘法运算和2N2个复加法运算.考虑到Hw是近似限带的，因此可以忽略远离对角线的元素.设Cw的近似带宽为2Q+1，那么只需要3(2Q +1)N 个复乘法运算和2(2Q+1)N 个复加法运算.

进一步探讨等效信道矩阵的性质，寻求进一步简化运算量的方法.单折线LTV 模型相对比较简单，笔者首先考虑该模型下的简化算法，然后将其推广到双折线模型中.通常情况下，窗函数是实函数且关于中心点偶对称，即w(n)=w(N-1-n).设m=n+d，则由式(11)可知，Cw(n+d，n)=C*w(n-d，n)，其中*表示复数的共轭.那么对于-Q≤d≤Q，有如下表达式

那么，将上述条件带入式(10)中，得到系统的信道响应:

可以看出，通过上式可将单折线LTV 模型下的计算量降低到原来的一半.

在双折线LTV 模型中，

式中:Aavr为平均斜率，Aavr=(Anxt+Apre)/2;ΔA 为线段斜率的增量，ΔA=(Apre-Anxt)/2;Cw=Cw，pre+Cw，nxt;ΔCw为基函数矩阵的增量，ΔCw= Cw，pre-Cw，nxt.

在双折线LTV 模型中，两条线段的斜率几乎是相同的.线段的斜率增量近似为零，即ΔCwΔA≈O.则双线段模型下系统的信道响应为

由上式可以看出，在双线段模型下，同样可以采用该方法简化信道估计时的计算量.简化后，算法的运算量降低为2(Q+1)N 个复乘法运算和(2Q+1)N个复加法运算.当Q=1 时，简化算法的复乘运算量降低了125%，复加运算量降低了50%.结论，窗函数对ICI 干扰具有两种作用，一是增强了d=1 的载波的ICI 干扰，二是抑制了d ＞1 的ICI 干扰.由此证明，窗函数可以很好地抑制带外的ICI 干扰，增强信道的限带特性.值得说明的是，在推导MBAE-SOE 窗时采用的参数Q=1.

图2 ICI 干扰随载波间距d 的变化情况Fig.2 Changes of ICI power with carrier spacing d

当归一化多普勒频移为0.1 时，带外ICI 干扰随带宽参数Q 的变化情况见图3.为验证理论推导的正确性，图中同时给出了理论曲线和仿真曲线.可以看出，理论曲线与仿真曲线完全吻合.当系统无窗函数时，其带外的ICI 干扰随Q 的增大衰减缓慢;当加入汉明窗时，带外的ICI 干扰快速衰减.特别地，当Q=1 时，汉明窗的带外ICI 干扰已经降低到-40 dB，远小于矩形窗的-22 dB.

4 算法仿真

仿真采用了128 点FFT，其中导频子载波数为16，循环前缀的长度为16，系统的采样间隔为0.2μs.导频载波和数据载波的调制方式均为四相相移键控(QPSK).导频载波等间隔地分布在OFDM 系统的整个频带中.多径信道采用了COST207RA 4 径模型，多普勒功率谱采用的是经典谱.

图2 示出了当归一化多普勒频移为0.1 时加窗后的ICI 干扰随载波间距d 的变化情况.可以看出，随着载波间距的增大，ICI 干扰亦随之降低.当系统无窗函数时(矩形窗)，ICI 干扰衰减缓慢;当加入汉明窗时，ICI 干扰衰减速度很快.图中，汉明窗和MBAE-SOE 窗的ICI 干扰是近似一致的.特别地，它们的ICI 干扰主要集中在d =1 的载波上.可以得出

图3 带外ICI 干扰随Q 的变化情况Fig.3 Changes of out-of-band ICI power with Q

图4 示出了当归一化多普勒频移为0.05 时系统误码率随信噪比的变化情况.图中，方法A 是文中提出的方法，方法B 则将窗函数的时变性等效为信道的时变性.为了对比方法的性能，图中给出了文献［15］的方法、最小二乘估计及理想信道估计下的误码率曲线作为对比基准.这3 种方法均针对的是无窗的传统OFDM 系统;而方法A 和方法B 加入了汉明窗.从图中可以看出，当误码率为0.002 时，方法A 的抗噪声性能相对文献［15］的方法提升了2.5 dB.其性能基本上与理想信道估计的性能一致.方法B 的性能非常差.这是由于窗函数的时变性非常剧烈，LTV 模型不能有效地跟踪其时变特性造成的.

图4 归一化多普勒频移为0.05 时不同方法的BER 对比Fig.4 BER comparison of different methods at the normalized Doppler shift of 0.05

5 结语

在OFDM 系统的接收端加入窗函数，可以有效降低子载波的频率弥散现象.但窗函数引入了新的时变性，并且该时变性相对于信道的变化更为剧烈.文中将窗函数与信道的时变性隔离开来，提出了WLTV 模型.从仿真结果可以看出，加入窗函数可以抑制信道矩阵的带外ICI 干扰，增强其限带特性.与传统OFDM 系统的性能相比，加入窗函数可以使系统性能有很大程度的提升.

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