廖 冰，罗永峰，王 磊，郭小农

（同济大学 建筑工程系，上海 200092）

目前，大跨度空间结构的地震反应分析仍然采用振型分解反应谱法.进行地震反应分析时，希望减少振型动力方程的计算，只叠加相对较少的低阶振型[1]，获得满足一定精度要求的地震反应.然而，振型分解反应谱法适用于多高层结构，由于大跨度空间结构的动力特性本质上不同于多高层结构，研究表明，进行地震反应分析时，若截取振型数量不足，则计算精度很低，有时甚至不准确.

大跨度结构常支承于刚度及质量相对较大的下部结构，在整体结构中，大跨度结构的质量较小且竖向刚度较弱.因而，在动力激励下，大跨度结构的动力反应显著大于其下部结构，且竖向反应明显.由于这一特征，使得采用振型分解反应谱法计算整体结构的地震反应分析时，结构质量参与系数累积速度很慢，难以达到规范90%的要求.

尹越、黄鑫[2]采用质量参与系数指标截取振型进行老山自行车馆屋盖结构地震反应分析，所截取的振型数远超过《空间网格结构技术规程》[3]建议的阶数.廖冰[4]在总结大量现有大跨度结构计算实例时发现，大跨度结构的竖向质量参与系数累积很难达到90%.另外，大跨度结构的风动力响应分析与地震反应分析具有相似性.Nakayama[5]提出应用振型应变能准则遴选主振型并对球面壳进行风振响应研究.田玉基[6]根据Nakayama的方法，提出用背景响应下的振型能量参与系数来遴选振型，振型能量参与系数准则本质上仍然是应变能准则，都假定结构在脉动风作用下为纯静力响应.同济大学罗永峰、王磊[7]对地震作用下的空间结构主振型选择准则进行研究，建立了网格结构振型遴选阈值法理论.王磊[8]还提出与阈值法结合的改进Lanzcos振型迭代法以及修正的非线性模态方法.

本文研究大跨度结构的动力特性，通过典型数值算例分析获得大跨度结构地震反应的内在特征、变形机理及其振型分布规律.针对采用振型叠加法分析大跨度结构地震反应时质量参与系数累积速度慢的特点，研究质量参与系数定义、振型截断原理及两者间的理论关系，提出一种适用于大跨度结构动力分析整体计算模型的简化方法.通过数值算例验证了简化方法的有效性、准确性及计算效率.

1 大跨度空间结构的动力特性

某体育场由上部大跨度雨棚和下部混凝土看台结构组成，该体育场结构的前8阶频率和相应的质量参与系数如表1所示，典型振型如图1所示.

表1 前8阶振型频率与质量参与系数Tab.1 Frequencies and MPFs of the first 8Modes

图1 大跨度体育场结构的振型分布Fig.1 Vibration modes of a large－span stadium structure

由表1可见，该结构频率分布非常密集且成簇出现，如第1～4阶振型集中在1.2Hz区域，第5～8阶振型集中在1.3Hz区域，各区段内振型频率差异很小.由图1可见，该大跨度结构频率相同或相近的振型，表现为钢雨棚的竖向对称或竖向反对称变形，而下部混凝土看台几乎无变形.该结构前800阶振型X，Y和Z方向质量参与系数累积分别为0.67，0.71和0.073 6，远小于规范90%的要求.

分析结果表明，由于大跨度结构竖向刚度通常较弱，其动力特征表现为大量竖向反对称变形的低阶振型且频率成簇分布，而竖向对称变形的振型数量很少且分布在高阶频率区.这一特征使结构低阶振型与地震加速度分布的空间相似度降低，导致低阶振型质量参与系数变小.另外，对包含下部结构的整体计算模型，竖向对称变形振型通常分布在高阶频率区，采用现有的数值方法很难获得精度可靠的高阶主振型.因此，由于大跨度结构独特的动力特征，采用振型叠加法进行包括空间结构及其下部支承结构的整体结构地震反应分析时，结构质量参与系数的累积常难以达到规范90%的要求[9].

2 振型分解反应谱法的振型截断原理

质量参与系数是判断结构振型反应对结构体系振动贡献最常用的控制参数[10].单向地震作用可表示为空间分布向量｛s｝和地面加速度标量u¨gx（）t的组合，应用振型参与系数Γn，｛s｝可展开为

其中，｛sn｝为第n阶振型对｛s｝的贡献.

根据振型叠加法，第n阶振型的动力方程为

求解该方程，即可获得第n阶振型反应｛un（t）｝，则与该振型相关的等效静力可表示为

进行等效静力分析，可求出第n阶振型对任意反应量r（t）的贡献rn（t），则有关系式

其中，rnst为分布向量｛sn｝作用下结构的第n阶振型静力反应.

定义rst为向量｛s｝引起的总静力反应，则有

若取反应量为结构水平向基底剪力Vbx（t），则第n阶振型基底剪力Vstbnx可表达为

类似地，rst对应的基底剪力Vstbx可表达为

即在X向水平地震作用下，结构总基底剪力Vstbx等于结构在作用方向上的总质量∑mx.但是，总质量∑mx不包括分配在边界约束点的结构质量.因此，第n阶振型的质量参与系数定义为

对于空间结构，在X，Y和Z三个方向均可定义振型截断数为N时的累积质量参与系数为

质量参与系数反映振型空间分布与动力输入空间分布间的相似程度，是衡量结构振型反应对结构整体振动反应贡献的合理指标.

3 大跨度空间结构动力模型简化

大跨度结构常支承于刚度和质量相对显著偏大的下部结构上，而大跨度结构则具有较大跨度及相对较弱的竖向刚度，易产生竖向振动形态.由质量参与系数定义式（8）可知，在结构整体计算模型中，大刚度和大质量的下部结构将导致结构质量参与系数的分母偏大，这就意味着只有当截断振型中包含下部结构变形显著的振型时，结构参与振动的有效质量才会显著提高.另外，在结构整体动力计算模型中，由于下部结构通常抗侧刚度相对较弱而竖向刚度通常很大，使得结构低阶振型中多出现下部结构水平振型，而竖向振动显著的振型常出现在高阶频率区段.数值分析表明，高阶振型中下部结构的振动对上部大跨度结构地震反应的贡献很小，可在上部结构地震反应计算中忽略其影响.因而，在整体结构动力计算模型中，可对下部结构竖向刚度和质量进行合理的简化，忽略其高阶振型效应，减小质量参与系数的分母，减少所需截断振型数量，提高结构竖向质量参与系数的累积速度.

一网壳结构（图2）在Z向地震激励作用下，结构动力荷载空间分布｛s｝可表示如图2所示.建立结构整体动力计算模型，将其质量矩阵[M]进行两次分块.首先，分别根据上部大跨度结构和下部支承结构的自由度进行分块，然后，再分别按X，Y和Z三个方向的集中质量进行分块，分块后的质量矩阵如式（10）所示.

图2 单层网壳结构Z向地震荷载空间分布Fig.2 Z－directional seismic load distribution of single－layer latticed shell structures

完成质量矩阵分块后，对下部结构Z方向集中质量分块矩阵的元素[Mzlow]均乘以一个很小的参数如δ＝10－5，如式（11）所示.

将式（11）代入式（7），可得

式（12）代表在Z向地震激励下，经简化后得到的结构整体模型Z向有效质量，该部分有效质量只包含上部大跨度结构质量，不包含下部结构质量，即结构Z向总基底反力的静力值Vstbz等于上部结构质量之和∑mzup.此外，式（12）还说明简化后结构整体模型中的下部结构不产生Z向惯性力，即下部结构Z向地震反应为静力响应.

由式（12）可知，结构整体动力计算模型的Z向总有效质量将显著减小，但是X和Y向总有效质量保持不变，因此，提高了结构Z向质量参与系数累积速度.同时说明，刚性结构的抗力趋近于纯静力行为而惯性效应可以忽略[1，10]，由于下部结构Z向刚度很大，其Z向振动反应可忽略不计.本文提出的动力模型简化方法等价于忽略了下部结构自身的Z向惯性力，因而，对上部结构的地震反应几乎无影响，仍可保持足够的计算精度.

4 数值算例

4.1 结构动力计算模型

一单层凯威特网壳支承于下部框架结构（图3）.网壳跨度60m，矢高12m，杆件均为φ150×4.0钢管.框架柱高12m，采用φ800×16.0钢管，框架横梁跨度10m，采用型钢H400×300×10×16.结构构件均采用Q345B钢材，弹性模量为Es＝2.06×1011N／m2.结构整体动力计算模型如图3所示，杆件均采用铁木辛科梁单元模拟，考虑单元的轴向变形和剪切变形.屋面等效重力荷载和结构自重均等效为节点集中质量，忽略转动惯量影响.框架立柱底端为固定约束支座，约束节点数为18，该结构非约束节点数为181，X，Y和Z三向总动力自由度及振型数为543.

图3 单层网壳分析模型Fig.3 Analysis model of a single－layer latticed shell

根据上节的动力计算模型简化方法对原模型进行质量分布修正，消除或削弱下部框架结构的Z向质量，修正模型的总动力自由度数减少为453.

4.2 振型特征与参与系数比较

采用SAP2000对结构整体模型进行动力特性分析，分析结果显示，原计算模型和修正模型的基频均为1.288Hz，图4为原计算模型的各主要振型模态，图5为修正模型的各主要振型模态.

图4 原模型的振型特征Fig.4 Vibration mode characteristics of the original model

由图4可见，原模型第1，2阶振型为网壳整体水平侧移，第9阶振型为网壳整体竖向对称变形，其余振型均为明显的网壳局部竖向反对称变形，且反对称振型都成簇出现且模态相同，仅总体变形方位有差异，如Mode03和Mode04所示.由图4和图5对比可见，原模型和修正模型的各阶振型基本相同.此外，原计算模型和修正模型均在第26，34，39和85阶出现网壳整体竖向正对称变形的振型，但下部框架结构几乎无变形.而在原计算模型中，第113和483阶振型主要为下部框架横梁和立柱的对称竖向振动以及与其连接局部杆件的变形，网壳主体本身没有明显变形，如图4所示.

图5 修正模型的振型特征Fig.5 Vibration mode characteristics of the simplified model

以上振型特征表明，单层网壳结构整体竖向对称振型数相对很少，且总出现在相对高阶频率区段，而局部竖向反对称振型占据了大部分低阶频率区段.修正模型由于下部框架结构消除了Z向质量，所以，没有出现下部结构竖向对称振型.

根据式（9）可计算单层网壳结构各振型在三个方向的质量参与系数及其累积值.表2为原模型和修正模型各主要振型的频率和质量参与系数，表3为截取前若干阶振型的质量参与系数累积值.

表2 原模型与修正模型质量参与系数对比Tab.2 MPF comparison between original and simplified models

由表2可见，原模型与修正模型的对应振型频率完全相同，与两个模型振型模态相同的现象一致，且两个模型的振型频率均为成簇分布，如第3，4阶振型频率均为2.241Hz.因此，无论从振型特征还是从频率分布比较，原模型和修正模型的动力特性都基本一致，但是，两个模型各振型的Z向质量参与系数差别较大.

表2统计显示，原模型和修正模型低阶振型的Z向质量参与系数均为0，而第9阶系数分别为0.043和0.052，两者相差不大，与振型模态为Z向对称振动的现象一致.然而，随着阶数提高，各振型贡献程度差异迅速增大，其中第85阶振型的差异最大，分别为0.35和0.43.

表3 原模型与修正模型质量参与系数累积对比Tab.3 MPF accumulation comparison between original and simplified models

由表3可见，截断振型较少时，原模型与修正模型Z向质量参与系数累积值相差不大，到截断前70阶振型，两者系数累积分别达到了40%和49%，差异较大；至截断前85阶振型时，原模型的系数累积只有75%，而修正模型已经达到了92%，基本满足规范90%的要求.而原模型要截断至前483阶振型，系数累积才达到93%.当选择全部振型时，原模型和修正模型的各方向质量参与系数累积均达到100%.

以上振型特征和质量参与系数比较表明，整体结构中的单层网壳竖向对称主振型数相对很少，但对Z向质量参与系数累积影响很大，且各主振型频率差较大，均分布在相对高阶频率区段.从主振型模态比较可知，上部网壳整体变形的振型对原模型和修正模型的系数累积均有显著贡献，而且对后者的贡献大于前者，其中第85阶振型的上部网壳整体变形最为突出，但下部框架结构基本无变形，因此，该振型控制着Z向质量参与系数累积，必须包含在结构地震反应叠加计算中.

另一方面，由于修正模型消除了下部结构的Z向质量，下部结构整体变形的竖向振型只在原模型特性分析出现，这些振型形态主要为横梁或立柱的竖向振动.尽管这些振型对应的Z向质量参与系数都较大，最大分别达到了11%和5.6%，但此时上部网壳结构本身几乎无振动变形，说明对上部网壳地震反应影响很小.因此，这些振型对于上部空间结构地震反应的影响可以忽略不计.

4.3 地震波输入的反应特征和比较

4.3.1Z向输入时程反应比较

为了验证简化模型的有效性，本节通过计算具体地震波激励下原模型和修正模型的地震响应进行比较.分别对两类模型输入Z向El－Centro地震波加速度时程，加速度峰值3.5m／s2，加速度时程时间步长0.02s，持续时间20.0s，记录如图6所示.

图6 Z向的EI－Centro波地震记录曲线Fig.6 Earthquake record curve of the EI－Centro wave in Z－direction

要获得截断振型数、质量参与系数累积量对动力分析结果的影响，应将振型叠加法的时程响应与直接积分法的时程响应进行对比.采用振型叠加法对修正模型进行时程分析，截断振型数应满足各向质量参与系数累积超过90%的要求.采用直接积分法对原模型进行时程分析，积分方法为Newmark法，积分系数γ＝0.5，β＝0.25，积分时间步长取0.02s，积分步数1 000步.不失一般性，初始条件均假定为静止，钢结构的阻尼比均为0.02.

在Z向加速度作用下，原模型和修正模型的时程反应分析结果及其比较如图7所示，其中修正模型振型截断至第85阶，位移特征节点和内力特征杆件的位置如图3所示.

图7的位移、基底反力和杆件内力响应比较可见，修正模型的振型叠加法结果与原模型的直接积分法结果基本一致.为了具体比较原模型与修正模型响应差异，首先采用式（13）对比响应峰值差异率

式中：｜f（t）｜max，｜g（t）｜max分别为原模型、修正模型响应峰值；Comax为两者峰值差异率.

然后采用响应峰值对响应曲线进行归一化处理，根据式（14）计算原模型与修正模型响应曲线形态差异度

式中：f（t），g（t）分别为原模型、修正模型响应函数；N为响应曲线数据点数；Cor为两者形态差异系数.

Cor值越小，两者形态一致性越高.计算得到的原模型与修正模型各类型响应对比及差异统计如表4所示.

图7 原模型与修正模型的分析结果对比Fig.7 Analysis results comparison between original and simplified models

表4 原模型与修正模型地震响应差异统计Tab.4 Statistics analysis of seismic response differences between original and simplified models

由表4可见，对于实际地震波激励作用下的修正模型，位移和内力的差异系数均在8%以内，与原模型的计算结果基本一致.

4.3.2Z向输入反应谱组合反应比较

特定时程反应谱法获得的组合值为结构在该时程荷载作用时间内的反应峰值.为了验证修正方法的有效性，可对修正模型振型叠加反应谱法组合值与地震波时程输入下原模型反应峰值进行对比.采用El－Centro地震波的加速度反应谱，周期T为0～5s，T→0时，加速度谱值Sa＝3.5m／s2（图8）.

图8 加速度反应谱曲线Fig.8 Acceleration response spectrum curve

修正模型振型仍然截断至第85阶，其反应谱结果与原模型时程分析结果对比如表5所示，采用式（13）计算两者差异率.

表5 原模型与修正模型地震响应对比Tab.5 Seismic responses comparison between original and simplified models

由表5可见，修正模型反应谱组合值与原模型时程反应峰值基本一致，差异率最小的响应是节点B位移UZ为9.8%，差异率最大的响应是杆件2的轴力FN为14.8%.原模型计算结果显示，立柱（杆件1）底部与顶部Z向内力之间变化很小，表明下部立柱自身质量引起的Z向响应可忽略不计，立柱Z向内力主要为上部网壳Z向振动引起的响应.

5 结 论

分析研究得到，大跨度空间结构动力特性的两个重要特征分别是：大量低阶振型呈反对称形态，且频率成簇分布；竖向对称形态振型数量很少且分布在高阶频率区段.这一动力特征导致整体结构模型质量参与系数累积很慢，难以达到规范要求的90%.因此，合理的振型截断数量是应用振型叠加法不可逾越的关键.本文深入研究质量参与系数定义、振型截断原理及两者间的理论关系，提出了一种适用于大跨度空间结构动力分析整体计算模型的简化方法，数值算例分析结果表明：

1）包括下部支承结构与上部单层网壳结构的整体模型经简化修正后，结构振型特征与原模型完全一致.而结构质量参与系数累积速度明显提高，所需振型截断数显著减少.

2）地震波输入计算结果表明，修正模型振型叠加法和原模型直接积分法分析结果基本一致，修正模型反应谱组合值和原模型时程反应峰值也基本一致，验证了本文简化方法的有效性；

3）计算结果表明，原模型下部立柱自身惯性力引起的竖向反应可忽略不计，立柱轴力主要为上部网壳的竖向振动效应，说明简化方法有效.

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