严深海

（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000）

0 引 言

文中研究下述有限域中的一类逆二次特征问题[1-2]及其在设计一类新HILL 密码体系方面中的应用.

问题N 对于预先给定的素数ρ 和λ，μ∈GF（p），V、W∈GF（p5×5），寻找U∈GF（p5×5），满足：

Hill 密码体系[3-4]是Lester S.Hill 1929 年提出的， 该加密算法将含有m 个字母的明文块加密成含有同等多个字母的密文块. 通过求单模数矩阵的逆A-1mod p 或求单模数线性同余方程组， 将密文解密成明文，它的提出标志着矩阵理论在密码体系设计中的应用. 游林等[5]则研究了有限域上n 元一次同余方程组的编码解法. 但HILL 密码体系也存在弱点，例如加密矩阵的存储管理问题，它不具有签名功能， 难敌通讯双方的信息伪造和抵赖，HILL 密码体系在很长时间内不被人们使用. 近年文献[6-8]研究了加密矩阵的动态构造和结合其他信息安全技术实现HILL 密码体系的签字功能. 文献[9]研究了基于多模数矩阵方程设计的密钥交换方案，文献[10]研究了基于求解多模数线性同余方程组来设计新的HILL 密码体系，文献[11]研究了基于单模数多变量二次同余方程组设计的密码体系. 文中则将逆二次特征问题[12-13]用于新HILL 密码体系的设计.

1 问题N 的解

根据U,V,W 的特殊结构，可整理得：

由行列式计算得：

由引理1 知问题N 中式（1）等价于φ（λ）=0，φ（μ）=0，即：

考虑到φ1，φ2，φ3的特殊结构，可整理式（2）为：

这里，γ1=v2v4w2w4，γ2=v1v4w1w4，γ3=v1v3w1w3，γ4=-v1w1，γ5=-v2w2，γ6=-v3w3，γ7=-v4w4，γ8=1.

式（3）是一个方程个数小于变量个数的非线性方程组，观察后知，该方程组可线性化为：

其中：η11=λ3u1（u5γ6+u3γ7），η12=λ3u5（u3γ4+u1γ5），η13=λ6u1u3u5，η21＝μ3u1（u5γ6+u3γ7），η22=μ3u5（u3γ4+u1γ5），η23=μ6u1u3u5，η20＝η10＝-（u1γ1+u3γ2+u5γ5）.

考虑到式（4）中两方程的右端相等，容易求解：

引理2 当λ≠μ，u1u3u5≠0，u2≠-（u3γ4+u1γ5）/[（λ3+μ3）u1u3]时，式（4）有……