张勇军

(海南大学信息科学技术学院，海口 570228)

全微分是多元函数微分学中的一个非常重要的概念，它反映了多元函数值的增量、各自变量的增量以及偏导数之间的关系。通过多元函数的全微分，在一定条件下可以求得满足一定关系的函数解析式，从而得出各变量之间的关系，这对于求解全微分方程所建立的数学模型是一种行之有效的方法。文献［1－5］中已给出二、三、四元函数全微分求积的概念、定义、条件、定理和方法;文献［6－12］中分别对二、三、四元函数的全微分求积问题进行了进一步的演绎、推理、归纳、总结，并给出了关于二、三、四元函数全微分求积的几种具体方法。本文在二、三、四元函数全微分求积问题的基础上，对五元函数的全微分求积问题进行研究。

1 五元函数全微分求积

1.1 五维空间曲线积分与路径无关的定义

定义 1 设 G 是一个五维空间区域:P(x，y，z，h，l)，Q(x，y，z，h，l)，R(x，y，z，h，l)，H(x，y，z，h，l)、L(x，y，z，h，l)。对于在区域G内具有一阶连续的偏导数，满足下列条件之一都成立:

① 如果对于G内任意指定的2点A，B以及G内从A到B的任意2条曲线Γ1、Γ2，则等式

成立。

②如果沿G内任意闭曲线C的曲线积分(C在G内)有

成立，则称空间曲线积分∫ΓPdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl在G内与路径无关，否则与路径有关。

1.2 定理及证明

定理 1 设空间区域 G 是一个五维单连通域，函数 P(x，y，z，h，l)，Q(x，y，z，h，l)，R(x，y，z，h，l)，H(x，y，z，h，l)和 L(x，y，z，h，l)在区域 G 内具有一阶连续的偏导数，则下面的 4 个命题等价:

①对于G内的任意一条光滑(或者分段光滑)闭曲线C，满足

② 曲线积分∫ΓPdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl与路径无关;

③ 存在 G 上的可微函数 U(x，y，z，h，l)，使得 dU=Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl，即 Pdx+Qdy+Rdz+Hdh+Ldl为 U(x，y，z，h，l)的全微分;

证明 ①⇒②

设A，B为G内任意2点，Γ1和Γ2是G中从A到B的任意2条路径，则C=Γ1+(－Γ2)就是G中的一条封闭曲线。……