姜焰鸣，刘桂雄

（华南理工大学机械与汽车工程学院，广东 广州 510640）

0 引 言

随着智能算法的发展，一些学者将遗传算法[1-2]、粒子群算法[3-4]、蜂群算法[5-6]等应用于形状误差评定，这对提高评定算法的准确度、减小计算复杂度、提高评定效率有重要作用。但仿生智能算法按照形状误差的数学模型，采用概率化随机搜索模式，评定结果存在分散性，因此无法直接作为平面度误差估计值，还须对评定结果进行不确定度评估。

不确定度评估一般是基于概率分布，但是智能评定结果的概率分布不规则，并不是一种确定类型的概率分布，使得形状误差智能评定的不确定度成为一个难点。较多学者采用评定结果样本均值、样本方差作为被测对象形状误差的最佳估计值、标准不确定度，但并没有根据评定结果的概率分布估计形状误差，一定程度上影响了评定算法的可靠性。

本文以平面度误差的粒子群评定算法为例，针对智能评定结果的概率分布特性，提出采用β分布统示法拟合智能评定结果的概率分布，对智能评定的不确定度进行评估，并选取仿真平面测量数据进行智能评定的不确定度评估实验。

1 评定结果概率分布的β分布统示法

1.1 粒子群算法评定结果的概率分布特性分析

平面度误差粒子群评定算法是将包容区域法向量作为搜索个体，以搜索个体对应包容区域宽度评价个体品质。算法首先随机初始化若干搜索个体，通过跟踪个体最优值、当前全局最优值调整速度产生新个体，不断逼近于全局最优解，搜索结束后最优个体对应包容区域宽度即为平面度误差的评定结果。若平面度误差真实值为tT、智能评定结果理论最大值为te_max，则智能评定结果概率密度函数f（te）可认为分布在区间[tT，f（te）]的有界概率分布。

f（te）与原始测量数据、评定算法搜索方式、搜索次数、初始化个体有关，分布规律非常复杂，故利用解析法求出f（te）难度大；此外，虽可利用正态分布、均匀分布、对数正态分布、Weibull分布等常见概率分布对其进行拟合，但如果算法更换或参数调整，则被选用的拟合概率分布函数不一定适用。本文引入一种统示分布方法——β分布统示法[7]，对评定结果概率分布进行拟合，可在不同智能算法、不同参数情况下都适用或接近，具有一定的普适性。

1.2 β分布统示法拟合评定结果概率分布

若变量x服从β分布，x∈[xs，xe]，形状参数为g和h，β分布的形态完全由取决于形状参数g、h，不同g、h对应不同形状的概率分布，且常见的概率分布都可以采用β分布统示法拟合。若xs=0、xe=1，g、h>0时，不同形状参数下的β概率分布为图1。

图1 不同形状参数下的β概率分布

若智能评定结果te服从形状参数为gt、ht的β分布βte，则te的概率密度函数f（te）为

对于式（1），首先须求出形状参数 gt、ht，虽可根据样本均值和样本标准差估计gt、ht，但这两种统计量并不能反映概率分布的形态，这种方法求形状参数并不准确。考虑到β分布的偏度、峰度仅由形状参数决定，则可通过计算样本偏度、样本峰度间接估计f（te）的形状参数gt、ht。若智能评定结果样本分别为te1、te2、…、ten，则可用样本偏度 sk′te样本峰度 ku′te来估计总体偏度skte、峰度kute，那么有：

构成关于gt、ht二元非线性方程，可采用具备全局寻优性能且收敛较快的蜂群算法[8]来求解形状参数gt、ht的估计值。

2 智能评定的不确定度评估

2.1 平面度误差的区间估计

若平面度误差智能评定结果te服从β分布βte（gt，ht），则智能评定结果的期望与标准差为

若评定结果样本最小值为tei_min，它也可作为平面度误差的有效估计值，并且由和tei_min可构成一个估计区间，平面度误差真值tT有较大概率分布在该区间内。由于为智能评定结果样本拟合函数βte（）的左边界值，则，令ηβ为[0，1]内一较大常数，那么有

2.2 智能评定结果样本的百分位数截取法

智能评定结果样本较多时，其概率分布会出现拖尾现象，引起平面度误差估计区间增大，因此须将样本进行预处理，保留较优评定结果样本。这里采用基于百分位数Qp截取法，对智能评定结果进行预处理，具体步骤：（1）将智能评定结果样本 te1，te2，…，ten按照升序排列，令其顺序统计量为 te（1）≤te（2）≤…

≤te（n）；（2）取正整数 Qp∈[0，100]，求 te（1），、te（2），…，te（n）序列中第 Qp百分位数 te（Qp），保留序列中 te（Qp）之前所有评定结果样本 te（1），te（2），…，te（Qp）。

经预处理后，再对 te（1），te（2），…，te（Qp）进行 β分布统示法进行拟合，并根据式（4）求出平面度误差估计值，连同 te（1）构成平面度误差估计区间，即：

作为平面度误差智能评定的不确定度评估结果。

3 仿真测量数据智能评定的不确定度评估实验

3.1 仿真测量数据模型

产品平面形成过程中影响平面度误差的因素很多，既会受刀具热膨胀效应、磨损等固有规律性因素影响，又受毛坯余量大小、硬度均匀性、机床振动等随机因素影响[9]，可认为平面度误差主要由系统误差分量、随机误差分量组成[10]。设理想平面函数为FFlat_ideal（x，y），系统误差分量、随机误差分量分别为δFlat（x，y）、εFlat（x，y），则实际加工平面FFlat_Real（x，y）可表示为

根据式（6）设计了最小包容区域模型为1-3型的仿真平面模型，其长、宽、平面度误差为：L=500mm、W=500mm、tf=0.01mm。该仿真平面 x∈[0，500]mm，y∈[0，500]mm，高极点为（250，250，0.0059）mm，低极点为（50，50，-0.0041）mm、（450，50，-0.0041）mm、（45，450，-0.0041）mm，其数学模型为

以矩形布点形式在以上仿真平面模型基础上获取100×100个测量点，连同4个极值点绕x、y轴旋转小角度θrx=0.05和θry=0.01，构成仿真测量数据。

3.2 评定结果不确定度评估与结果分析

利用粒子群算法对测量数据进行NS次评定，取截取参数Qp=100-10（间隔为10），并利用本文提出的方法评估智能评定不确定度。表1～表3分别为评定结果样本NS=20，50，100平面度误差区间估计，为平面度误差的估计区间。

可以看出：所有估计区间均能够有效包容仿真测量数据的平面度误差值tT=0.01 mm；截取分位数Qp减小，估计区间跨度减小；Qp相同条件，NS越大，ΔT越小。

分析得到 Qp=20、NS=100，ΔT最小，下面继续取Qp=20，随机取10组NS个评定结果样本，进一步观察每组平面度误差区间估计结果，表4～表6分别为NS=20，50，100 区间估计结果。

表1 NS=20平面度误差区间估计

表2 NS=50平面度误差区间估计

表3 NS=100平面度误差区间估计

可以看出：（1）NS=20，50，100 估计区间跨度取值范围为 [4.0064×10-7，1.0912×10-5]mm、[3.5502×10-7，1.1847×10-5]mm、[4.180 5×10-7，5.881 6×10-6]mm，并且均能包容平面度误差tT=0.01mm，说明可有效地给出智能评定的不确定度；（2）Qp=20，ΔT宽度均较小，但NS=20和50时，ΔT波动性相对较大；NS=100 时，ΔT相对稳定，平均跨度相对较小，不确定度评估效果较好。

4 结束语

（1）以平面度误差的粒子群评定算法为例，针对智能评定结果概率密度函数特性，提出采用β分布统示法拟合智能评定结果的概率分布，将区间作为平面度误差的估计区间，并在拟合之前采用百分位数截取法对数据进行预处理。

表4 NS=20不同样本平面度误差区间估计

表5 NS=50不同样本平面度误差区间估计

表6 NS=100不同样本平面度误差区间估计

（2）选取仿真平面测量数据进行不确定度评估实验，结果表明，评定结果样本数NS、截取分位数Qp都会影响平面度误差区间估计效果，适当增加NS、减小Qp，有利于提高智能评定的不确定度评估效果；NS=100，Qp=20时，估计区间平均宽度相对较小，验证了基于β分布统示法的智能评定不确定度评估可行性。

（3）本文主要研究智能评定算法的不确定度评估方法，并没有涉及测量不确定度评估，可通过与其他不确定度分量合成求出测量不确定度。

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