李新忠，台玉萍，聂兆刚，张利平，李慧娟

(1.河南科技大学a.物理与工程学院;b.化工与制药学院，河南洛阳471023;2.洛阳市光电功能材料重点实验室，河南洛阳471003;3.南洋理工大学数学物理学院，新加坡637371，新加坡)

0 引言

激光散斑测量技术［1－8］在测量物体的形变、位移、表面粗糙度等方面有着广泛的应用［9－11］，而与这些应用紧密联系在一起的便是测量散斑图之间的相关系数。在提高散斑测量精度的发展中，图像细分技术是有利的手段。

图像细分技术可分为像素级别的与亚像素级别的配准，其中，像素级别的包括:强度相关［12］、相位相关［13］;亚像素级别的包括:强度插值［14］、相位相关插值［15］等。这些方法中，像素级的配准方法精度太低，而亚像素级的配准方法却过分依赖于插值算法的质量，因此精度得不到保证。

文献［13］提出了利用相位相关来进行亚像素图像配准的思想，此种方法不需依靠插值，且能对图像进行高精度的配准，随后文献［16］把这种方法广泛用于测振工程上。

由于在工程应用上没有考虑到误差所带来的影响，所以不能使测量的精度达到最佳值，文献［13］中已经提到公式近似，图像重叠所带来的误差以及消除办法，本文不再叙述。本文主要研究由于降采样导致频率域重叠所引入的误差以及消除误差的办法，将其应用于激光散斑测量技术中，并利用相关系数说明该算法的正确性。

1 图像细分原理及其误差分析

1.1 相关理论及应用

相关在数学理论和信息处理理论中常用卷积来表示，因此，卷积被称之为卷积相关。其实图像相关来源于两幅图像f(x，y)和t(x，y)在图像位分辨率上的卷积关系［17］，

对式(1)进行展开可得到:

由于t2(x - u，y - v)项为常量，如果f2(x，y)也为常量的话，那么剩下的相关项为:

但事实上，f2(x，y)由于激光照射条件的改变而改变，且相关项γ(u，v)随着匹配模板t(x，y)大小的改变在同一点(u，v)取值也随之改变。

若此时引入概率统计论中的协方差和相关系数把f(x，y)和t(x，y)当成随机变量［18］，对它们的相关关系进行描述，则上述的缺点就可以迎刃而解，

此种对于灰度进行统计描述的方法在图像处理上称为“强度相关”，虽然强度相关系数C(u，v)对于计算两幅图的相关很有效，但是由于u、v 只能取整数值，所以精度只能达到整像素级，故此技术不能用来测量亚像素级的配准，只能用来作为粗匹配和最后试验结果的检验。即先采取别的办法对图像进行亚像素配准，然后再把图像按照配准的结果进行插值平移，最后，再用强度相关系数计算平移后两幅图片的相关系数，从而验证亚像素配准算法的正确性。

1.2 图像细分原理

图像的亚像素级的移动是由于图像的采样率低，采样间隔过大(降采样)产生的，可以认为当数字图像采样间隔减小(过采样)，就会使亚像素的移动由非整数变成整数，即像素级的移动。例如，对分辨率为128 Pixels×128 Pixels 的图像移动量为0.5 个像素，当分辨率为1 280 Pixels×1 280 Pixels 时，其移动量为5 个像素。

因而，降采样后的归一化交叉能量谱为［13］:

其中，W、H 为降采样前图像的宽和高，事实上常用一个sinc 函数来取代式(8)，

考虑

可以得到亚像素移动［20］，

上述两式的±号主要是决定于M、N 的奇偶性，若为奇数则取正号，若为偶数则取负号。

1.3 图像细分算法的误差分析

在1.2 描述的亚像素配准过程中，主要考虑以下3 个方面的误差源:

(Ⅰ)用式(9)代替式(8)的公式替代误差。

(Ⅱ)两幅图像中非重叠区域带来的噪声。

其中，误差来源(Ⅰ)和(Ⅱ)分别在文献［20］和文献［13］中提到，现在考虑误差来源(Ⅲ)。

那么，只要当M ＞K 和N ＞L，就能发生频率混叠的情况，至于混叠的严重性就决定于M、N 分别比K、L大的倍数。一旦频率域出现混叠的情况，那么h^mn(u，v)就不再是理想的带通滤波器，从而式(7)的逆傅里叶变换就不再是式(8)，从而产生误差。

假设M = SK 和N = TL，其中S，T ＞1，那么可以通过在交叉频率谱采用低通滤波来解决频域混叠所带来的误差，其中要滤掉的高频部分，即滤波条件是:

这时式(7)应写为:

式(16)中的逆傅里叶变换为:

同样，可以通过C'(1，0)、C'(0，0)、C'(0，1)来求(x0/S)/K = x0/M = △x，同理求得△y。

2 试验结果及讨论

2.1 激光散斑试验

散斑测量试验光路如图1 所示，在图1 中，RS 为粗糙毛玻璃;GT 为可以使RS 旋转及测量旋转角度的旋转载台。

当RS 为竖直方向时，用一束与RS 法线方向成θ 角的激光(氦氖激光器)对RS 表面进行照射，然后在另外一个相对的方向用电荷耦合元件(CCD)拍摄RS 表面形成的散斑图，如图2 所示。

图1 激光散斑试验原理图

然后，让GT 旋转δθ 角度，使RS 旋转同样的角度，此时把CCD按同样方向也旋转δθ 角度，对RS 表面形成的散斑图进行拍摄，如图3 所示。由图3 可以看出:在RS 旋转δθ 角度后，反射光线应按相同的方向旋转2δθ，而此时CCD 却只按相同方向旋转了δθ，因而能够拍摄出两幅散斑图之间的相对位移。

2.2 试验结果分析

在对图像进行配准以前，由于图片部分区域曝光过强，CCD 产生饱和，因此需要对配准区域进行人工选择，这里选择两幅图片的左上角坐标(310，0)，右下角坐标(500，250)作为配准区域。

以下是对这两幅图像进行分析的步骤:

(Ⅰ)用强度相关对图像进行粗匹配，得出配准结果为(△x，△y)=(0，0)。

(Ⅱ)强度相关公式(4)计算出图2 和图3 两幅图像的相关系数c=96.34%。

(Ⅲ)用图像细分公式(9)～(13)算出配准结果为(△x，△y)=(0.278，0.310)。

(Ⅳ)根据配准结果对图像进行(△x，△y)=(0.278，0.310)的平移。

(Ⅴ)利用强度相关公式(4)算出平移后图像的相关系数c=97.67%。

从上面步骤V 得到的相关系数可以看出:在对图像进行亚像素配准后，图像相关精度有了明显的提高，初步显示出亚像素配准技术的改善效果。

图2 δθ=0°时的激光散斑图像

图3 δθ=1°时的激光散斑图像

利用滤波条件(15)对图像进行滤波，尝试进一步减小误差。进行以下处理:

(Ⅰ)利用式(15)的滤波带宽对图像2 和图像3 进行滤波。

(Ⅱ)通过式(7)计算滤波后两幅图像的交叉能量谱，得到误差修正模型(17)。

(Ⅲ)利用C'(1，0)、C'(0，0)、C'(0，1)，算出配准结果为(△x，△y)=(0.282，0.320)。

(Ⅳ)同样根据配准结果对图像进行(△x，△y)=(0.282，0.320)的平移。

(Ⅴ)同样的利用强度相关公式(4)统计相关，算出平移后图像的相关系数c=98.25%。

可以看出:在对图像进行滤波后，图像相关精度有了进一步的提高，从而说明了误差分析的正确性。

3 结束语

通过分析图像细分过程中误差产生的原因，引入误差矫正模型，可以进一步提高图像配准精度，在试验上说明了其精度小于0.01 个像素的可能。另外，目前只考虑到频率域的一阶重叠所引入的误差，若考虑高阶的频域重叠，则将进一步提高配准精度，使此技术在微机电系统中的振动测量精度达到纳米水平。

由于在激光散斑检测技术中，两幅散斑图之间除了平动以外可能还存在着转动，所以在下一步研究中，拟采用互信息配准来对散斑图进行配准［21］，但散斑图由于其特殊性，在特征点的提取上有一定的难度，这将成为下一步工作的重点。

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