杨 慧，姜广浩，肖 璨

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

1 预备知识

定义1.1[1]设 X 是集，A 是一frame，其最大元与最小元分别记为1，0.又设╞是 X× A 的子集，记(x，a)∈╞为 x╞a(读作 x 满足 a).若╞具有性质:

(1)对任一有限集 S⊆A和点 x∈X，x╞∧S 当且仅当每一 a∈S，x╞a;

(2)对任一集 S⊆A和点 x∈X，x╞∨S 当且仅当存在 a∈S，x╞a.

则称三元组(X，A，╞)为一拓扑系统.A 中的元称为拓扑系统的开元，X 中的元称为拓扑系统的点.通常用大写字母 D 表示拓扑系统(X，A，╞)，分别用 ptD和ΩD 表示拓扑系统 D 的点集 X和开元集 A.

定义1.2[2]设 D 是拓扑系统，X⊆ptD，≡是 ΩD 上的frame 同余.作 ΩD 上关于 X 上的等价关系≡x:∀ a，b∈ ΩD，a≡xb 当且仅当 a≡ b 且任意 x∈ X，x╞ a⇔ x╞ b，则≡x也为 ΩD 上的 frame 同余.此时拓扑系统 D' = (X，ΩD/≡X，╞)称为 D 的一个子拓扑系统，其中 x╞[ a]⇔x╞a.

定义 1.3[1]一簇拓扑系统｛Dλ｝的和系统∑λDλ定义为: pt∑λDλ= ∑λptDλ是点集的无交并，Ω∑λDλ=∏λΩDλ为 frame 的笛卡儿乘积，任意 x∈ ptDu，x╞〈aλ〉当且仅当 x╞ au.其中〈aλ〉∈∏λΩDλ.

定义1.4[1]拓扑系统 D和E 的积系统 D× E 定义为:

(1)pt(D × E)= ptD × ptE，

(2)Ω(D × E)= ΩD⊗ΩE 为 frame 张量积，

(3)(x，y)╞∨i(ai⊗bi)当且仅当存在 i 使得 x╞ai且 y╞bi.

定义1.5[1]设 D 是一个拓扑系统，任意开元 a∈ΩD 的内容 ex(a)定义为 ex(a)= ｛x∈ptD: x╞a｝.全体开元的内容形成 ptD 上的一个拓扑，记为 ΩptD，拓扑空间(ptD，ΩptD)称为 D 的空间化，记为 spatD.

定义1.6[1]设 D，E 是拓扑系统，D 到 E 的连续映射是指满足下列条件(1)- (3)的一对映射(ptf，Ωf)，记(ptf，Ωf)为 f: D→E.

(1)ptf: ptD→ptE 为映射;

(2)Ωf: ΩE→ ΩD 为 frame 同态;

(3)x╞Ωf(b)⇔ ptf(x)╞ b.

定义1.7[3]设 D 是拓扑系统，U，F⊆ptD.若存在 a∈ΩD，使 U= ex(a)，则称 U 为拓扑系统的开集.若存在开集 U 使得 F= ptD/ U，则称 F 为拓扑系统的闭集.

定义1.8[1-3](1)若任意一对点 x，y∈ptD，当 x≠y 时，存在 a∈ ΩD，使 x╞a 但 y╞a 不成立，或存在b∈ ΩD 使 y╞b 但 x╞b 不成立，则称拓扑系统 D 是 T0的.

(2)拓扑系统 D 称为 T1的，若任意一对点 x，y∈ptD，当 x≠y 时，有 a，b∈ΩD，使 x╞ a 但 y╞ a 不成立且 y╞b 但 x╞b 不成立.

(3)拓扑系统 D 称为 T2的，若任意一对点 x，y∈ptD，当 x≠y 时，有 a，b∈ ΩD，使 x╞a，y╞b 且 ex(a∧b)=Ø.

(4)拓扑系统 D 称为 T3的，若 D 是 T1的，且任意 x∈ptD，任意闭集 F⊆ptD，当 x∉F 时，有 a，b∈ΩD，使 x╞a，F⊆ex(b)，且 ex(a∧b)=Ø.

(5)拓扑系统 D 称为……