刘雄伟

(国防科技大学 理学院，湖南 长沙 410073)

方向导数在实际生活和理论、方法研究中有着十分广泛的应用。由于在不同的教材和参考书中出现有不同的定义形式和描述形式，很容易让学生在学习过程中产生困惑。因此，在实际的课堂教学过程中，应该加强不同定义和描述形式的讨论与分析，同时加强前后教学内容的联系与考虑实际应用的需求，这样才能让学生真正、有效地理解和掌握相关的理论与方法，从而激发他们学习数学、探索数学和应用数学的积极性和主动性，增强学好数学的信心。

1 方向导数的不同定义

定义1［1］设二元函数f(x，y) 在点(x0，y0)的某邻域内有定义，向量u 对应的单位向量为u°= {cosα，cosβ }，其中α，β 为向量u 的方向角。定义函数f(x，y) 在点(x0，y0) 沿方向u 的方向导数为：

其中，ρ 可正可负。ρ＞0 时，表示自变量从(x0，y0) 沿着方向u 移动的距离，ρ＜0 表示自变量沿方向u 反向移动的距离。

定义2［2］在前提条件与定义1 相同的情况下，定义方向导数为：

其中，ρ 表示自变量从(x0，y0) 沿着方向u 移动的距离。

定义3［3］设二元函数f(x，y) 在点(x0，y0)的某领域内有定义，单位向量u=(a，b) ，定义方向导数为：

以上定义很容易推广得到n(n≥3) 元函数的方向导数定义。

2 方向导数不同定义的对比与分析

方向导数研究和讨论的初衷是为了解和分析多元函数沿着某个方向的变化率，即为了度量事物按照不同变化因素的发展趋势。一般来说，就二元函数而言，如果表示的曲面是平滑曲面，则利用三个定义都可以得到函数沿着指定方向u 的变化率。……