魏夏萍

我国著名数学教育家曹才翰教授在其《中学数学教学概论》中指出：“思维能力的核心是概括能力。”概括在智力活动中的作用非常重要。没有概括就没有概念，没有概念就无法进行逻辑思维。以下笔者结合教学实践对培养数学概括能力的重要性及一般途径谈点浅见，望同仁指正。

一、数学概括能力的实质、构成因素及培养数学概括能力的重要性

曹才翰教授给出了概括的两种意义：“其一，指在思想上把具有相同本质特性的事物联系起来；其二，是把被研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的本质特性。”数学概括能力是数学活动中表现出来的概括能力，即是概括数学对象、数量关系和空间形式的能力，它是一种特殊的概括能力。因为：首先，这种概括是概括基础上的再概括，比如数学中的研究对象：数、点、线、面等概念本身都是现实中概括出来的，而数学概括是对这些经过概括得到的对象的再概括：其次，数学概括进行得迅速，并且结果也很简洁。邵光华先生在其《数学思维能力结构的定量分析》一文中指出了数学概括能力主要由形成数学概念的概括能力、形成数学通则通法的概括能力和迁移概括能力三种能力因素构成，且后两种能力起主导作用，决定着总体概括水平。

1. 数学概括能力是学生学习数学的必要条件。

在数学学习中需要进行抽象和概括，只有通过逐步地从具体到抽象的概括，才能使学生真正掌握数学知识。现代教学论要求我们，不仅要学生掌握数学知识的结论形式，而且还要认识数学知识的产生过程，而这两方面的学习都依靠对数学对象、结构、关系以及各种经验的概括。教学实践告诉我们，学生掌握数学知识直接受他们抽象概括能力的制约，如果学生的抽象能力（尤其是概括）差，既不能抓住事物的本质属性，就不能正确地获得知识，这充分说明了数学概括能力是学生学习数学所必需的能力。

2. 培养学生的数学概括能力是中学数学教学的任务之一。

中学数学教学大纲明确规定：“……以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。”从迁移的角度来看，实际上是培养学生的正迁移能力。正迁移能力强，说明学生适应新学习情境或分析问题、解决问题的能力强，心理学家贾德认为：概括是产生学习迁移的关键，学习者只有对他的经验进行了概括，获得了一般原理，才能实现从一个学习情景到另一个学习情景的迁移，才能“举一反三”“闻一而知十”。概括的层次越高，迁移的半径越大。

二、概括的两种形式及培养数学概括能力的一般途径

概括有两种形式，即初级形式的经验的概括（感性概括）和高级形式的科学概括（理性概括）。前者是一种低级的概括形式，它是根据食物的外部特征，对不同事物进行比较，舍弃他们互不相同的特征，对他们的共同特征加以概括。而后者是通过对感性认识经验加工改造，揭示事物一般的、本质的特征与联系的过程。学生知识的获得以及能力的培养过程仅有感性的概括是不够的，还要（主要）促进学生进行理性概括，为此，教师在教学中应善于创设问题情境，实施启发式教学，从而不断提高学生的概括水平。

1. 精心设计概念教学。

精心设计数学概念形成过程的教学，让学生亲自经历由具体到抽象，概括事物本质属性的过程，以培养学生形成数学概念的概括能力。数学概念形成的整个过程大致为：对一类事物的各种刺激模式进行辨析；通过比较，对事物的外部特征进行概括，分化出各种刺激模式的属性，并通过类化，把从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较，找出共同属性；通过抽象，提供共同本质属性的假设，并在特定情境中加以检验，以确认本质属性。把本质属性从具体刺激模式中抽象出来推广到同一类事物，概括形成概念，给出定义并用习惯的形式符号表示新概念。

2. 搞好解题教学。

引导学生概括解题规律，以培养学生形成通则通法的概括能力，且用规律解决问题，进而培养学生迁移概括能力。有些习题属于某类问题的一个特例，它具体反映了同类问题的客观规律，具有从特殊向一般开拓的功能，这类习题的教学应从习题出发，引导学生抽象概括，得出一般规律，再用于指导同类或与之有关问题的解答，以发挥其潜在功能。

3. 重视数学思想方法的教学。

数学思想和方法是数学概念、理论的相互联系和本质所在，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，贯穿于数学内容的始终，教师应在数学教学的每一个环节中重视数学思想方法的渗透，使学生对数学知识和所使用的方法有本质的认识，若能把基本数学思想和方法学好了，在其指导下驾驭数学知识，就能培养学生数学概括能力。

责任编辑 徐国坚