空间的平行关系

（★★★）必做1 如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2，在线段PD上是否存在一点E，使得MN//平面ACE？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.

[A][B][M][C][D][N][P][图1]

[牛刀小试]

破解思路 欲找一个平面，使直线与这个平面平行，要用到直线与平面平行的判定定理；另外，从做几何题的经验来看，给出“中点”的条件，解题时往往会用到（或借助到）另外相关的中点；对于在不确定的条件下（如这里的菱形就是不确定的），我们应该避免使用解析法（建立空间直角坐标系）做题.

[A][B][M][C][D][N][P][E][图2]

精妙解法 如图，取PD的中点E， 连结NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE[=][∥]AD.又在菱形ABCD中，CM[=][∥]AD，所以NE [=][∥]MC，即MCEN是平行四边形，所以NM∥EC. 又EC?平面ACE，NM?平面ACE，所以MN∥平面ACE. 所以在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=PD=.

极速突击 本题属于数学开放性问题中的存在性问题，存在性问题的一般处理方法都是先假设结论成立，由此及条件进行推证，若能推证，则假设为真；若导出矛盾，则假设不真.

（★★★★）必做2 在长方体ABCD-ABCD中，O为底面正方形的中心，过A，C，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图3所示的几何体ABCD-ACD，求证：DO∥平面ABC.

[D1][C1][A1][D][O][A][B][C] [图3]

[牛刀小试] 破解思路 解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，或转化为证两个平面平行.

精妙解法 法1：取AC中点P，连结DP，OB，PB，则DP [=][∥]OB，所以四边形OBPD为平行四边形，所以DO∥PB，且DO?平面ABC，PB?平面ABC，所以DO∥平面ABC.

法2：连结AC，AD，DC，易知点O在AC上. 根据长方体的性质得四边形ABCD、四边形ADCB均为平行四边形，所以AD∥BC，AB∥DC. 又AD?平面ACB，BC?平面ACB，所以AD∥平面ACB，同理DC∥平面ABC. 又DC∩AD=D，所以根据面面平行的判……