胡先进 李 力

（1.重庆实验中学，重庆 401320；2.重庆清华中学，重庆 400054）

任何两个大质量天体系统，因万有引力作用而相互绕行，在它们的轨道平面上，存在着一些特殊的点.当在这些点引入小质量天体时，小质量天体受到两个大质量天体引力的合力，恰好等于它与两个大质量天体一起转动需要的向心力.这意味着，小质量天体在这些点上，能保持与两个大质量天体的相对位置始终不变.

1767年，欧拉求出了这样的3个点，记为L1，L2，L3，它们都在两大质量天体的连线上.1772年，拉格拉日又找到了另外的2个点，记为L4，L5，它们在两大质量天体连线之外，这2点关于两大质量天体的连线是对称的，它们中的任一点与两大质量天体正好构成一个等边三角形（如图1）.后来，人们习惯上把这5个点统称为“拉格朗日点”，其中拉格拉日找到的那两点又叫“三角拉格朗日点”.

图1

必须明确，位于拉格朗日点的小质量天体远远小于两个大质量天体，所以不考虑小质量天体的反作用对两个大质量天体运动的影响.同时，除两个大质量天体外，也不考虑其他天体对这个小质量天体的引力作用，即位于拉格朗日点的小质量天体的运动完全由两个大质量天体的引力决定.

上述求解拉格朗日点的问题，是一个典型的“平面圆型限制性三体问题”.众所周知，两个天体在相互引力作用下如何运动的所谓“二体问题”，早已获得精确而完美的解答.而“三体问题”，则是近300年来数学物理中一直未能彻底解决的难题.19世纪末，法国大数学家庞加莱采用美国数学家希尔提出的简化模型：“假定有两个天体，它们在万有引力作用下，围绕共同质心，沿着椭圆形的轨道，作严格的周期性运动；另有一颗宇宙尘埃，在这两个天体的引力场中游荡.两天体可完全不必理会这颗粒产生的引力对它们之间运动的影响，因为颗粒的质量相对它们自己来说实在太小了.可是颗粒的运动会是怎样的呢？这简化模型称为‘限制性三体问题’.”［1］即使是“限制性三体问题”，也异常复杂，庞加莱借助他天才的创造——相图、拓扑方法、微分方程定性理论，发现颗粒的运动是没完没了的自我缠结，而且高度不稳定.

“平面圆型限制性三体问题”是讨论得较多的比较简单的类型，即将“限制性三体问题”中两个大质量天体围绕质心O的椭圆轨道运动简化为圆运动.所以，拉格朗日点上的小质量天体，在两个大质量天体引力的作用下，绕质心O以同样的角速度作匀速圆周运动，这样才能与两个大质量天体保持相对位置不变.

文献［2］对“三角拉格朗日点”进行了理论验算，证明了L4、L5中任一个与两个大质量天体正好构成一个等边三角形.笔者读后感到数学推导过于繁琐，本文借助向量代数，将给出一个导出“三角拉格朗日点”的简捷方法.

图2

如图2，大质量天体M和m之间距离为a，分别位于O1，O2，质心在O 点.设L是拉格朗日点，则在此处的小质量天体m0，必在M和m引力作用下，绕质心O以角速度ω作匀速圆周运动，其中ω也是M 和m绕质心O作匀速圆周运动的角速度，对M、m用万有引力定律和牛顿第二定律不难得到［2］

又容易知道质心O满足M·O1O＝m·O O2，将此代入（4）式得O1L＝O2L，再将此式代回（3）式，立即得到O1L＝O2L＝a，这说明M、m、m0正好构成一个等边三角形，这样我们就导出了拉格朗日点L4、L5.并且由此可以看出，在两大质量天体连线之外，显然只有这两个拉格朗日点.

1 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程（力学，第2版）.北京：高等教育出版社，2004.276

2 林辉庆.拉格朗日点L4的理论验算.物理教师，2012（4）：42～43