孔 凡，李 杰，2

(1.同济大学 土木工程学院，上海 200092;2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

小波分析发展历程充分体现出工程与数学领域相互促进关系。小波(wavelet)一词由Morlet等［1］对地震数据分析时提出。Meyer等［2-4］提出连续小波容许性条件及重构公式，并将计算机视觉领域中多尺度分析思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析概念及Mallat算法。Daubechies［5］创立了支持离散小波的二进小波理论，并构造出紧支的正交小波基。在小波发展史中，Grossman等［6-7］也做出了杰出贡献。

在完善和发展小波的纯数学理论同时，小波理论在应用数学及工程领域中也颇具前景。Newland等［8］首先将小波分析应用于工程振动信号分析，并提出了谐和小波(Harmonic Wavelet，HW)及广义谐和小波(Generalized Harmonic Wavelet，GHW)概念。HW 与GHW为一类具有解析形式，在频率域上紧支但时域衰减较慢(依t-1)的小波［8-14］。HW被应用在求解常/偏微分方程［15-17］、积分与积分 - 微分方程［18-19］、时频分析［20］、估计随机过程功率谱密度［21-22］以及计算随机激励下系统二阶响应［23-24］等方面。

谐和小波良好的工程应用前景在于其特殊的谐和成分与实际中发生的振动信号结构有相似之处［19］。快速Fourier变换(FFT)技术的应用，使谐和小波变换计算效率更高。HW与GHW均在无穷时域上正交，工程实际中发生的振动信号却不具有无穷持时特征。因此，基于GHW概念，本文提出以有限时间T0为基本周期的周期广义谐和小波(Periodic Generalized Harmonic Wavelet，PGHW);证明了此类小波在有限区间内的正交性;提出了基于FFT的PGHW快速冗余/非冗余小波变换及重构算法，指出了冗余和非冗余小波变换间关系;利用所提小波变换算法，对某地震动时程进行周期广义谐和小波变换及其重构。……