司志本，李 蕊

（1.河北民族师范学院，河北 承德 067000 2.兴隆县青少年活动中心，河北 兴隆 067300）

在微积分学中，微积分的一些基本性质，给我们的计算或证明带来许多方便。但是，在学习这部分内容时，我们不能只满足于对已有性质的运用，还应该有意识的对一些性质做出进一步的探讨，挖掘其深刻的内涵.只有这样，才能使我们更好地掌握微积分学这部分内容。本文先讨论几个性质，然后再针对性质4举几个例子，说明这个性质在定积分的计算中所发挥的作用。

性质1 若函数f(x)为连续函数，则

性质1说明，对于一个可积函数f(x)来说，先求不定积分然后再求导，最后结果仍然是原来的函数f(x)，也就是说，“求积分”和“求导”这两种运算的作用相互抵消了。性质1是微积分学中最简单、最基本的性质之一。在随后学习定积分时我们发现，积分上限函数有与（1）式类似的性质,即有下面的性质2.

性质2 若函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数在[a,b]上可导，而且有

比较（1）、（2）两式，我们发现

不难说明，如果把（1）式和（2）式中的x都换为x2，那么等式就不再成立。但是，我们有下面的（4）式和（5）式成立：

（4）式和（5）式都可以运用复合函数的求导法则进行证明。此处从略。

比较（4）式和（5）式，我们发现

一般情况，对于任意的正整数n，有

从而有

不难证明，（9）式当n是负整数时也成立，这样就得到下面的性质3.

性质3 对于任何可积函数f(x)以及非零整数n，都有

公式（10）把不定积分、定积分以及导数这三个概念有机的结合在一起，充分揭示了微分与积分的内在联系。

性质4 若f(x)为连续函数，则

证明：设 x=π-t，则 dx=-dt，当 x=0 时，t=π；当 x=π 时，t=0.所以有

利用性质4，我们可以计算一类与之相关的定积分.

解：显然，被积函数f(x)=sinx在区间[0,π]上是连续的。由性质4可得

说明：上面例2在求积分的过程中，我们先把被积函数中的cos2x换成了1-sin2x，然后运用性质4，在用完性质4以后，又把1-sin2x还原为cos2x.这种循环变换有没有必要呢？实际上，因为cos2x=1-sin2x，所以，若被积函数f(x)的表达式中含有cos2nx，则不用做上面的循环变换，直接用性质4即可.例如，上面的例2也可以如下求解：

因为

所以，原积分为

当 x≠0时，有

当x≠π时，有

所以，当 x≠0且 x≠π 时，有

而当x=0与x=π时，都有

所以，原积分为

例3和例4都是把一个定积分问题转化成了广义积分问题来解决。

[1]华东师范大学数学系.高等数学[M].华东师范大学出版社，1998.8.

[2]任建娅,司志本,成福伟.高等数学简明教程[M].大连理工大学出版社,2010.8.