何军涛 ，张 洁 ，黄宏伟 ，张应刚

（1.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092）

1 引 言

随着城市的发展，越来越多的地下工程需要建设。由于施工场地条件的限制，很多工程需要进行基坑开挖，但同时要保证基坑的开挖不能对周边环境造成过大影响。基坑地下连续墙的水平位移量是度量基坑变形的重要指标，能间接地反映基坑变形对周边环境的影响。在基坑工程的设计和施工中，对基坑地下连续墙水平位移进行准确预测就显得尤为重要。在实际工程应用中，可通过对土体进行现场或者室内试验，同时结合工程经验得到土体参数，进而采用数值分析方法计算基坑位移。然而，土体性质具有不可消除的固有变异性，试验过程还可能存在一定的试验误差，这导致数值分析预测的结果可能会与实际监测到的水平位移之间存在较大差异。为了更准确地对水平位移量进行预测计算，可根据已有的监测数据对土性参数进行反演修正。由于基坑地下连续墙的水平位移与地层的力学参数之间不具备明确的解析关系，基坑变形的反分析涉及数值模型与优化方法的耦合，常具有计算量大、使用不方便的缺陷。响应面法是1 种求解复杂优化问题的有效方法。在岩土工程中，响应面法已用于可靠度分析之中。反分析也可看做是1 个将模型预测与实际观测值之间差距最小化的1 个优化问题。本文的目的是提出1 种适用于基坑变形反分析的响应面方法，通过位移预测模型和优化算法的解耦，提高反分析的计算效率，降低反分析方法的实施难度。由本文中的应用实例可以看出，本文提出的变形反分析方法可以基于已有的数值分析软件结合Excel直接实现，且具有较高的精度，非常适合工程应用。

2 位移反分析方法概述

反分析是指以现场量测到的位移、应变、应力等能反映系统力学行为的物理信息量为基础，通过系统的物理性质模型及数学描述，亦即反演模型，来推算得到该系统的某些初始参数（如初始应力、弹性模量等）的方法。在岩土工程中，位移是较易获得的信息，是岩土体力学性质参数的函数。根据现场实测获得的位移数据，运用理论分析方法来确定岩土体的力学性质参数，叫做位移反分析方法。位移反分析方法是20 世纪70 年代在岩土工程领域提出来的。1971 年Kavanagh 等[1]提出反算弹性模量的有限元法。1976 年Kirsten[2]提出由实测岩体变形来反分析岩体弹性模量。1977 年Maier 等[3]则从模型识别角度进行位移反分析的探讨。Sakurai 等[4]在1979 年提出了平面应变问题的弹性问题位移反分析和弹塑性问题位移反分析。我国关于位移反分析的研究也始于上世纪70 年代末，而且在理论研究和工程应用等方面都作出了独特的贡献。孙钧等[5]采用Sakurai 提出来的逆反分析方法，在弹性问题范围内，推导了随机有限元的逆过程，提出了量测位移的随机逆反分析方法。杨林德等[6]提出了根据现场量测位移反演确定初始地应力的有限单元法。杨志法等[7－8]利用事先建立的图谱反演围岩地应力分量及弹性模量，提出了另一种位移反分析方法——图谱法。近年来，冯夏庭等[9]将人工神经网络技术应用到岩体工程的位移反分析中，邓建辉等[10]利用遗传算法对岩石边坡进行了位移反分析，孙钧等[11]采用位移反分析方法建立岩石隧道动态反演预测模型。针对岩土问题的不确定性，国内外学者还提出了不确定性的研究方法。例如模糊数学表达法、灰色理论解析法、时间序列分析法及概率有限元方法等，基于统计理论考虑先验误差信息的贝叶斯方法[12－13]和卡尔曼滤波法同有限元法结合，用于岩土力学问题的参数估计。在反分析中通常需要进行大量的计算工作，这影响着反分析在实际工程中的应用。徐军等[14]在其论文中采用Monte-Carlo 抽样方法，建立1 个响应面对单层围岩的围岩参数E、c、φ 进行随机反分析，取得了较好的结果。同一基坑可能穿越多个不同土层，可能存在多个参数，以及多个位移观测点。针对基坑位移反分析方法的特点，本文基于响应面方法[15－17]的原理，提出多重响应面方法来拟合土层参数与基坑地下连续墙位移之间的非线性映射关系，以代替反分析时大量的数值计算过程，减少数值计算次数，节省反分析时间，提高效率。

3 多重响应面方法

为了兼顾计算效率和准确性，在本文中，采用不带交叉项的2 次响应面函数，其表达式为

式中： x=（ x1, x2,…, xn） 为待反分析矢量；a、 bi、ci( i = 1,2,… , n)为待定系数。式（1）右端共2 n+ 1个待定系数，需要有2 n+ 1个方程才能求解。在本文的反分析中， s ( x )代表位移，x 代表待反分析的参数。本文提出的反分析方法实施步骤具体如下：

（1）假定初始迭代点 x（1）= （，初始值可取为均值点。在本文中，变量x 取为各层土体的弹性模量，其均值是指通过土体试验得到的弹性模量统计均值。

（2）对于第1 个位移观测点，通过数值分析方法分别计算不同参数组合情况下的位移值：s（i, … ,）以及 s（i± f σi,…，，( i = 1,2, … , n)，由此可获得2 n+ 1个位移值。令式 （1）位移等于数值分析方法计算所得位移，由此可以获得2 1n+ 个方程，从而可以求解式（1）中的2 1n+ 个未知系数，由此，可获得第1 个位移监测点处的响应面函数。

按上面的方法对每1 个位移监测点都建立1 个相应的响应面函数。如果沿深度方向有20 个监测点，则建立相应的20 个响应面。传统的响应面方法多采用1 个单一的响应面来拟合复杂的目标函数。本文采用多重响应面比采用单一响应面能更好地拟合复杂的实际工程条件，收敛速度更快。

（3）基于获得的响应面函数，采用最小二乘法对土层弹性模量1E ，2E ，6,E… 进行反分析，使得基坑的地下连续墙沿深度方向的水平位移计算值S（1）=（…,，与实测值S =的差值平方和最小。最小二乘函数表达式为

由于反分析中位移预测值都采用多项式预测，因此，式（2）中优化问题的求解非常方便。

（4）以上一步中反分析获得的参数为中心点，重新建立响应面函数，并再次进行反分析，直到相邻两次计算得到的基坑地下连续墙的水平位移值向量之间的偏差足够小，偏差的大小可以采用偏差向量的2 范数来表示：

式中：k 为迭代计算的步数；ε 为预设的容许偏差限值。ε 值越小，则表示对偏离程度的要求越高，最后得到的预测值与实测值之间的相对偏差将会越小。

上述步骤中f 是1 个重要的参数。建议f 第1步可取2，这样可以在合适的区间范围内搜寻最佳的参数点，不至于搜索区域过大，表征变量与目标函数之间的映射关系过于离散化，导致收敛步过于缓慢，也不至于搜索区域过小，得到的只是反映很小区域内的映射关系。同时为了提高计算效率，较快地收敛，在第1 步已经确定较合适区域后，在后面的迭代步中f 取1。为用数值计算软件计算得到的在深度为i m 处的基坑地下连续墙水平位移计算值。

采用响应面法对土层参数进行反分析，将计算软件内部的计算过程用响应面方程来近似，可以大大减少计算软件的计算次数，提高反分析效率。下面通过2 个工程算例来验证和演示本文提出方法的实用性。

4 工程算例分析

4.1 算例1

4.1.1 工程概况

本工程实例选自文献[18]，上海外滩中心大厦占地面积为19 000 m2，地下室为3 层，基坑平面外形近似为梯形，其长边长为130 m，宽为126 m。开挖深度在15.56～17.00 m 之间。围护结构为厚 1 m、深32 m 的地下连续墙，弹性模量为25 GPa，重度为25 kN/m3。设置3 道钢筋混凝土支撑和1 道钢支撑，弹性模量分别为28、210 GPa，构件布置及地层分布如图1 所示。

基坑采取分步开挖施工，第1～4 次开挖深度分别为 2.0- 、 8.2- 、 11.9- 、 14.6- m，在前3 次开挖到达预定深度后，分别设置钢筋混凝土支撑，第4 次开挖后设置一道钢支撑。

图1 外滩中心围护结构及土层分布剖面图 Fig.1 Profile of foundation excavation support

基坑变形的影响因数很多，在使用数值计算软件模拟计算时，无论是出于软件本身计算功能的限制还是计算效率的要求，不可能考虑所有影响基坑变形的因素。因而，在进行模拟计算时往往只选择重要的影响因素，忽略次要或者在模拟计算中难以实现的影响因素。在影响基坑变形的众多因数中，土体的弹性模量很难准确测量，具有很大的变异性。泊松比变异性较小，且影响相对较小。例如，本算例中，在其他计算参数取初始值的情况下，当第1层土的泊松比从0.30 增加到0.35 时，基坑开挖2步时地下连续墙最大水平位移值（即埋深10 m 处的位移）仅从5.11 cm 增加到了5.17 cm。综合考虑计算的准确性和工作量，本文计算中选取土层弹性模量作为反分析的变量。

在本文参数反演修正中，取各层土体的弹性模量作为变量，其反演修正的目的不是将土层弹性模量修正到理论真实值，而是修正得到1 组采用选择的计算模型能得到与实测值相接近的计算值的土层参数。本算例中选取第2 步开挖后地下连续墙实测水平位移来修正土层弹性模量，然后用修正后的参数预测第3 步开挖后地下连续墙的水平位移，并与实测值比较分析。

土层弹性模量由现场取样在室内试验得到，其统计特征如表1 所示。

4.1.2 计算模型建立

本文计算采用FLAC2D有限差分软件，土体模型选用工程中常用的Mohr-Coulomb 模型，各土层泊松比1μ ～6μ 分别取为0.33、0.34、0.34、0.32、0.31、0.30[18]。考虑土层开挖影响范围，模型边界水平方向向外延伸90 m，竖直方向延伸到65 m。理论上，在对基坑进行数值分析时，采用基于渗流分析的有效应力方法来考虑地下水位的影响更为合理，但该方法的使用需要额外的渗流参数和渗流分析。为简化计算，实际工程中多采用总应力法对基坑进行分析[18]。本文也采用总应力进行计算。开挖3 步后支撑以及网格的划分如图2 所示。

表1 各土层弹性模量特征值 Table 1 The means and standard deviation of modulus of soil

图2 计算模型的网格划分 Fig.2 Griding of model

4.1.3 计算过程

计算过程分为以下5 个步骤：

（1）计算中选用不带交叉项的二次多项式作为响应面函数，共有6 个变量，所以响应面函数有13个未知量。选取土层弹性模量的均值为初始值，按照多重响应面方法中的 xi= μi± fσi展开得到13 组参数组，如表2 所示。在计算中数据很多，为了方便计算，本文采用Excel 电子表格来完成计算过程。（2）土层弹性模量分别取由第（1）步得到的13 组参数组，用有限差分软件FLAC2D做13 次计算，得到基坑开挖2 步后的地下连续墙水平位移。计算结果如表3 所示。

表2 选取13 组计算参数值 (单位: MPa) Table 2 Selection of calculating parameters (unit: MPa)

表3 基坑开挖2 步后的水平位移 Table 3 The horizontal displacements after excavation step 2

（3）对于埋深为1 m 的监测点，将第1 组土层弹性模量，即表2 中的第1 组参数值带入式（1）的右边，将对应的水平位移值，即表3 中第2 行第2列的位移值，带入式（1）的左边。则得到含有13个未知量a、 bi、 c（ii= 1,2, …,6)的一次方程。由另外12 组土层弹性模量可以得到相应的12 个方程。由此得到由13 个线性方程组成的方程组。求解线性方程组，得到在埋深1 m 处建立的响应面函数的二项式系数。同样的，对埋深为2～25 m 的监测点，采用同样的方法，得到其对应的响应面函数的二项式系数，如表4 所示。

将表4 中的第2、3 列的响应面函数的系数值带入式（1），可得深度为1、2 m 的响应面函数，如式（4）、（5）所示。同样方法可得到其他深度的响应面函数。

（4）建立25 个响应面后，需要找到1 组土层弹性模量，使得由这25 个响应面得到的计算位移值与实测值之间的差值的平方和最小，即使得式（2）最小。本文采取Excel 中的规划求解器来进行多参数的优化求解，优化方法采用的是规划求解器中自带的牛顿搜索法，其可变的元素为土层弹性模量。

（5）用有限差分软件FLAC2D计算出基坑开挖两步后的水平位移。计算中，土层弹性模量取为第4 步得到的土层弹性模量，即使得式（2）最小时的土层弹性模量。将FLAC2D计算结果代入收敛判断条件式（3）中，式中的ε 是衡量优化求解精度的量。ε 值越小，则表示相邻迭代步计算位移的偏离程度越小。在本算例中，采用误差向量的2 范数来衡量误差大小，其向量维度为25 维。迭代计算中，当ε＜1时，式（3）左边两向量之间的偏差很小，进一步进行迭代可提高的精度有限。从迭代计算的工作量与修正精度来考虑，继续迭代，意义不大。因此，在本算例中，ε =1。在实际应用中，ε 可以根据计算精度要求以及计算工作量的大小综合确定。如果收敛条件满足，则停止迭代；不满足，则取第4 步得到的土层弹性模量为新的迭代点，返回第（1）步继续迭代计算，直到满足收敛条件为止。

4.1.4 计算结果

每步迭代后，由收敛判断条件得到：03.25ε = ，1 1.57ε = ，21.82ε = ，30.76ε = 。经过3 步迭代后，满足收敛条件，停止迭代。每步迭代中的土层弹性模量如表5 所示。

第3 次迭代后，地下连续墙的水平位移计算值与实测值对比以及误差如表6 所示。将每一迭代步的地下连续墙水平位移计算值与实测值进行对比，得到如图3 所示的对比图。

表5 土层弹性模量迭代值 (单位: MPa) Table 5 Moduli of soil for Iteration (unit: MPa)

表6 迭代收敛时水平位移实测值与计算值对比 Table 6 Comparison between measured values and calculated values of horizontal displacement during convergence

从表6、图3 可以看出，预测值与实测值之间的误差绝大多数小于5%。实测最大水平位移发生在埋深10 m 处，为5.085 cm。迭代收敛时，最大水平计算位移发生在埋深11 m 处。其值为4.903 cm。在实测最大水平位移处其误差为-3.62%。预测值偏小。在最大位移区域即10 m 附近，以及地表附近和埋深19 m 附近误差较大，但误差在可以接受范围内。

4.1.5 预测结果比较

以上通过多重响应面法对影响基坑地下连续墙水平位移的因素，即土层弹性模量进行了修正。为了验证所得结果是否可靠，在实际中是否具有适用性。将满足收敛条件的土层弹性模量作为FLAC2D计算时的土层弹性模量初设参数，用来计算第3 步开挖后的地下连续墙水平位移值，并与实测值进行比较。其误差值的大小如表7 所示，对比图如图4所示。

图4 基坑水平位移实测值与预测值对比图 Fig.4 Comparison between measured values and prediction values of horizontal displacements

在实际工程应用中，人们关注更多的是地下连续墙的最大水平位移。从表7 和图4 可以看出，实测最大水平位移值发生在埋深13 m 处，大小为7.055 cm。预测值的最大水平位移发生在埋深14 m处，其数值为7.364 cm，基本上能准确地预测最大水平位移发生的位置。实测最大水平位移值与预测最大水平位移值的相对误差与绝对误差分别为4.38%、0.309 cm。

从对比中可以看出，预测值比实际监测值略微偏大0.309 cm，相对偏大4.38%。采用本预测值将略偏于安全。在实际应用中具有实用意义。

4.2 算例2

4.2.1 工程简介

为了进一步验证本方法在工程实践中的适用性，采用本方法对上海东方金融广场基坑工程进行反分析，并与实际监测值进行对比。本工程实例选自文献[19]，上海东方金融广场地处上海浦东新区陆家嘴金融贸易区，占地面积约为12 331 m2。由于施工场地狭小，施工作业面不满足全区域开挖，实际施工中分A，B 两个区域开挖，先开挖B 区域，后开挖A 区域。在两个区域中间设置1 道地下连续墙将两区域分隔开，地下连续墙深度为32 m，厚为0.8 m。本算例研究的是B 区域土方开挖施工，选取中隔地下连续墙处布设的监测点数据进行分析。B 区域开挖面积约为3 747 m2。基坑开挖深度为16.05 m，共设置4 道钢筋混凝土支撑，土层分布及支撑标高情况如图5 所示。

图5 上海东方金融广场基坑支护及土层分布剖面图 Fig.5 Profile of foundation excavation support

基坑采取分步开挖施工，第1 步只需开挖0.5～1 m 的表层填土，然后设置第1 道支撑。此时开挖量较小，地下连续墙几乎没有水平位移；第2 步开挖到5.8 m，设置第2 道支撑，此时连续墙上部有较小的水平位移；第3 次开挖到-10.2 m，设置第3道支撑；第4 次开挖到-13.9 m，设置第4 道钢支撑。第3 步和第4 步开挖后，连续墙发生较大水平位移，在本次分析中将选用第3 步开挖后的水平位移实测值修正土层弹性模量，然后基于修正的土层弹性模量预测第4 步开挖后基坑地下连续墙的水平位移，并与实测值进行对比分析。

4.2.2 计算结果

经过2 步迭代后，满足收敛条件，停止迭代。将基坑第3 步开挖完成后的地下连续墙水平位移实测值与由各迭代值计算得到的地下连续墙水平位移值进行对比，如图6 所示。

图6 基坑水平位移对比图 Fig.6 Comparison of horizontal displacement curves

实测最大水平位移发生在埋深11 m 处，其值为2.445 cm。迭代计算收敛时，最大水平计算位移亦发生在埋深11 m 处。其值为2.274 cm。在最大水平位移处其误差为-7%，预测值偏小。在最大位移区域即11 m 附近，地表附近和埋深25 m 附近误差较大。

4.2.3 预测比较

由修正的土层弹性模量来计算第4 步开挖后的地下连续墙水平位移，达到预测的目的。基坑第4步开挖后的地下连续墙水平位移实测值和预测值对比，以及两者之间的误差如表8 所示。

实测值与预测值的对比图如图7 所示。从图可以看出，基坑的预测位移趋势与实测位移趋势吻合得较好。实测最大水平位移发生在埋深12～13 m处。埋深13 m 处的水平位移实测值为3.928 cm，预测值为4.188 cm，预测最大水平位移处与实测最大水平位移处很接近。

实测最大水平位移值与预测最大水平位移值的相对误差与绝对误差分别为6.61%、0.260 cm。从对比中可以看出，预测值比实际监测值偏大0.260 cm，相对偏大6.61%。

表8 第4 步开挖水平位移预测值与实测值对比 Table 8 Comparison between measured values and prediction values of horizontal displacements of step 4

图7 基坑水平位移实测值与预测值对比图 Fig.7 Comparison between measured values and prediction values of horizontal displacement

同时从表8 还可以看出，埋深1～5、25 m 处的相对误差很大，这是由于实际水平位移很小造成的。实际上，在1 m 处的绝对误差为0.278 cm，25 m处的绝对误差为0.451 cm。因此，虽然其相对误差很大，但并不影响其在实际工程应用中的指导意义。

5 结 论

（1）采用多重响应面法来修正土层的弹性模量的效率高，收敛快。

（2）地下连续墙预测水平位移趋势能很好地与实测结果吻合，整体来说，误差较小。

（3）预测的最大水平位移深度与实测最大水平位移深度很相近。

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