董冉冉，尹红云，张道祥

（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000）

一类具多偏差变元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程的周期解

董冉冉，尹红云，张道祥

（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖 241000）

利用广义的Mawhin重合度理论研究了一类具多偏差变元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程的ω－周期解问题，并得到了周期解存在的充分条件.

周期解；中立型Rayleigh方程；偏差变元

0 引 言

中立型泛函微分方程吸引着众多学者的研究兴趣［1－4］，主要因为它能够为诸如生物、电子、机械和经济等众多领域提供良好的数学模型，以及对其研究具有重要的理论意义.特别地，人们近年来开始关注具偏差变元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程［5－6］.文［5］利用拓扑度理论和一些分析技巧研究了具一个偏差变元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程（φp（（x（t）－cx（t－σ））′））′＋f（x′（t））＋g（x（t－τ（t）））＝e（t）.而文［6］则将这种类型的方程（φp（（x（t）－cx（t－σ））′））′＋f（x′（t））＋α（t）g（x（t－τ（t）））＝e（t）转化为一个二维系统，进而利用Mawhin重合度理论讨论了其周期解.

本文在［5－6］的基础上进一步研究了一类具多偏差变元的p－Laplacian中立型Rayleigh方程：

1 预备知识

为叙述方便，首先引入以下记号：

下面介绍广义的Mawhin重合度理论（Extension of Mawhin's continuation theorem）.

定义1［7］设X，Z是两个Banach空间，其模分别为‖·‖X，‖·‖Z.如果连续算子M：X∩domM→Z满足：（i）ImM：＝M（X∩domM）是Z的一个闭子集；（ii）KerM：＝｛x∈X∩domM：Mx＝0｝与Rn（n＜∞）是线性同构的.则称M是拟线性的.

定义2［4，7］设Ω⊂X是有界开集，其原点θ∈Ω.称Nλ→Z，λ∈［0，1］在上是M－紧的，如果存在Z的子集Z1满足dimZ1＝dimKerM，并且算子R：×［0，1］→X2是连续紧的使得对λ∈［0，1］有

（a）（I－Q）Nλ）⊂ImM⊂（I－Q）Z，

（b）QNλx＝θ，λ∈（0，1）⇔QNx＝θ，∀x∈Ω，

（d）M［P＋R（·，λ）］＝（I－Q）Nλ，λ∈［0，1］，

其中X2是KerM在X中的补空间，即X＝KerM⊕X2；投影算子P，Q满足ImP＝KerM，ImQ＝Z1，N＝N1，Σλ＝｛x∈：Mx＝Nλx｝.

引理1［4，7］设X，Z是两个Banach空间，其模分别为‖·‖X，‖·‖Z，且Ω⊂X是一个非空有界开集.若M：X∩domM→Z是拟线性的，Nλ→Z，λ∈［0，1］在上是紧的.并假设下列条件成立：

（H1）Mx≠Nλx，∀（x，λ）∈∂Ω×（0，1）；

（H2）QNλx≠0，∀x∈KerM∩∂Ω；

（H3）deg｛JQN，Ω∩KerM，0｝≠0，J：ImQ→KerM是同构映射.

则方程……