周书行，谷 峰

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

G－度量空间中几个新的不动点定理

周书行，谷 峰

（杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036）

在G－度量空间中，利用局部化单调定理，证明了几个新的不动点定理，所得结果进一步丰富和发展了G－度量空间中的不动点理论.

G－度量空间；局部化单调函数；局部化单调定理；不动点

1 引言和预备知识

1992年，Dhage［1］引入了D－度量空间的概念，企图得到和度量空间中相类似的一些结果.随后，Dhage［2－5］给出了D－度量空间的拓扑结构和几个不动点定理.然而，Mustafa和Sims［6］的结果表明，关于D－度量空间的大多数基本拓扑性质是不正确的，这使得Dhage在D－度量空间中得到的许多结果是无效的.因此，Mustafa［7］提出了G－度量空间的概念，此后，文献［8－10］进一步讨论了G－度量空间中的不动点问题.本文利用郭伟平［11］给出的局部化单调定理，证明了G－度量空间中的几个新的公共不动点定理，从而进一步发展了G－度量空间中的不动点理论.

定义1［8］设X是非空集合，G：X×X×X→［0，∞），满足：

（G1）如果x＝y＝z，则有G（x，y，z）＝0；

（G2）∀x，y∈X，x≠y，有G（x，x，y）＞0；

（G3）∀x，y，z∈X，y≠z，有G（x，x，y）≤G（x，y，z）；

（G4）G（x，y，z）＝G（x，z，y）＝G（y，z，x）＝…（关于3个变元对称）；

（G5）∀x，y，z，a∈X，G（x，y，z）≤G（x，a，a）＋G（a，y，z）.

称函数G是X上的一个广义度量，或称G是X上的一个G－度量，称（X，G）为G－度量空间.

命题1［8］设（X，G）为G－度量空间，则以下结果等价：

（i）序列｛xn｝G－收敛于x；

（ii）G（xn，xn，x）→0（n→∞）；

（iii）G（xn，x，x）→0（n→∞）；

（iv）G（xn，xm，x）→0（n，m→∞）.

命题2［8］设（X，G）为G－度量空间，则（X，dG）为度量空间，其中

由G和dG的定义不难得到下面的不等式成立：

由命题1和式（1）易知，序列｛xn｝G－收敛于x当且仅当dG（xn，x）→0（n→∞）.可见G－度量空间一定是度量空间，并且它们有相同的收敛性.

命题3［8］设（X，G）是一个G－度量空间，则函数G（x，y，z）关于所有3个变元是连续的.

定义3［11］设X是一非空集合，T是X上的自映像，L：X→［0，∞），A⊂X，若对∀x∈A，当L（x）＞0时，L（Tx）＜L（x）；……