宋晴晴，宋卫东

（安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241000）

1 引言及主要结果

设Nn+1是n+1 维共形平坦单连通完备黎曼流形，Mn是Nn+1中具有常平均曲率的紧致无边的超曲面。对于共形平坦流形的子流形已有不少研究［1-3］。文［1］研究共形平坦黎曼流形中具有常平均曲率的完备超曲面，获得了一些刚性定理，文章继续类似的问题得到如下结果：

定理1设Mn是局部对称共形平坦流形Nn+1中的紧致无边的超曲面，且具有常平均曲率，以S代表其第二基本形式模长的平方，令Tc，tc分别是Nn+1的Ricci 曲率的上确界和下确界，如果Nn+1在Mn上x点处的截面曲率Kn+1in+1i满足，则

1）如果S≤，那么M是全脐的超曲面。

2）如果S=，那么M是全脐的或者与一个有两个不同的主曲率，且其中一个主曲率是一重的超曲面等距。

其中S代表其第二基本形式模长的平方，tc，Tc分别是Nn+1的Ricci 曲率的上确界和下确界，{λi}是M的主曲率。

2 准备工作

如无特别说明，规定各类指标的取值范围如下：

1 ≤A，B，C，…≤n+1;1 ≤i，j，k，…≤n

并且Σ 号下重复指标表示在相应范围内求和。

设Mn是n+1维局部对称共形平坦空间Nn+1中具有常平均曲率的完备超曲面。在Nn+1上选取局部标准正交标架场{eA} ，使得它限制在Mn上，{ei} 与Mn相切，en+1与Mn正交。设{ωA} 和{ωAB}分别是{eA} 的对偶标架场和联络1-形式。在此标架下Nn+1的结构方程为[4]

限制在Mn上，有[5]

其中：ωij是Mn的联络1-形式。hij，Rijkl，KABCD分别表示Mn的第二基本形式，曲率张量R的分量和Nn+1曲率张量K的分量。Mn的第二基本形式模长的平方的平均曲率。用hijk和hijkl分别表示hij的共变导数，则[5]

Nn+1是局部对称的，则

又Nn+1是共形平坦的，即其黎曼曲率张量为