内蒙古交通职业技术学院 苏勒德

位移法是解决超静定结构最基本的计算方法，计算时与结构超静定次数关系不大，相较于力法及力矩分配法，其计算过程更加简单，计算结果更加精确，应用的范围也更加广泛，可以应用于有侧移刚架结构的计算。此外，对于结构较为特殊的体系，应用位移法可以很方便地得出弯矩图的形状，位移法不仅适用于超静定结构内力计算，也适用于静定结构内力计算，所以学习和掌握位移法是非常有必要的。

一、位移法的基本思路

位移法的基本未知量便是结点位移，以单跨杆件单元集合体为例，其结构如图1所示。

图1 单跨杆件单元集合体结构

通过力法可以建立等截面直杆的刚度方程，分析不同杆件单元的杆端力和杆端结点位移以及荷载之间的联系，而通过位移法，则无需再列出如力法那样繁琐的公式，可以直接应用其计算结果。位移法将结构的内力计算的问题进行了转换，将其变为在基本结构的荷载共同作用下求解基本未知量的内力计算问题，通过力系的平衡条件及叠加法建立相应方程，实现对结点的位移和结构内力的求解。

二、确定基本未知量与基本结构

位移法是以不考虑轴向变形为基础的，其基本未知量不包含铰结点转角位移、支座结点位移，只是独立的结点位移，这是位移法和矩阵位移法最大不同。位移法基本未知量的选取尽量要求数目最少，根据荷载及结构的变形的条件，通常各个刚结点都存在相应的转角位移，然而当结点连接的杆件具有一定的抗弯刚度时，则该结点不存在转角位移，进而不能取其作为基本未知量；对线位移进行判定时，一般采用铰接体系法以及附加连杆法进行判断。在所有的位移约束后形成了位移法的基本结构，其中线位移用链杆进行约束，角位移则用刚度无限大的刚臂进行约束，在基本结构中刚臂数量对应着转角位移的数量，同理，链杆支座的数量对应着线位移的数量。水平杆以及竖直杆，结点沿线方向的线位移通常是相同的，但是若杆件的轴向变形不能忽略时，则结点的线位移不同。以图2所示的甲乙两结构为例，甲转角位移数为5 个，线位移数目为3 个，但是结构乙转角位移数为4 个，线位移数也是4 个，这是因为中间链杆存在轴向变形，所以其两端结点的竖向位移不同。

图2 示例结构

三、典型方程的建立

对位移法的基本未知量进行求解需要建立相应的典型方程，在建立典型方程时，通常采用基本体系法以及直接刚度方程法两种方法。基于位移法的基本结构，施加原结构中的荷载与位移，形成基本体系进行计算。基本体系法是依托基本结构与基本体系进行方程求解的，该方法概念清晰，且与力法求解步骤类似，相对比较容易学习掌握；直接刚度法大大简化了位移法的计算的复杂性，然而其各个杆端力的计算都是基于基本结构中的杆件单元所进行的。需要注意的是，其基本结构不是显式的。

基本体系法与直接刚度方程法的实质是相同的，其差异性也只是典型方程的表面含义的不同，基本体系法对基本体系和原结构的不同进行了消除，通过在原结构中添加原本不存在的附加约束反力为零的条件，实现了典型方程的右端恒为零的形式。直接刚度方程法的实质是基于等截面直杆刚度方程对各个不同的基本结构单元在各种外力作用下的杆端内力进行了罗列。另外对于基本体系法，计算其各系数时也同样需要选取隔离体及相应的平衡条件。两种方法所列出的典型方程是相通的，都是以力的平衡为基础进行处理的。

四、位移基本结构的简化

对于某些超静定结构，根据体系的特点可以对基本结构进行简化处理。如当结构为对称结构时则可取半边结构，在有些情况下，由于可以直接判断结构部分杆件的内力，其结点转角和相应的结点线位移在位移法计算时可以忽略，进而简化了计算过程。以图3所示的钢架为例。

图3 钢架结构

由于存在半刚结点B 和全刚结点D，故存在2 个角位移；改铰处理后其自由度是2，如图2（乙）所示；通过添加水平链杆与竖直链杆将体系转换为几何不变体系，如图2（丙）所示；所以结构的线位移数为2，加上2 个角位移，结构有4 个未知量。然而对于悬臂梁半刚结点B，通过静力平衡法即可求出其截面弯矩，所以不必将B 点转角与位移量作为基本未知量，故结构存在2 个未知量，其基本结构如图2（丁）所示。

五、结论

位移法的各种求解方法存在内在统一性，在逻辑上是互相联系的，都是基于相同的基本假定，判断结构体系的自由度，进而进行求解。位移法是以计算机为基础的矩阵位移法的理论依据，是计算超静定结构的重要方法，需要工作人员熟练掌握。