时彬彬，李仁所，沈有建

（1.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158；

2.山东农业大学 信息学院数学系，山东 泰安 271018）

关于实对称矩阵惯性定理的新证明

时彬彬1，2，李仁所2，沈有建1

（1.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158；

2.山东农业大学 信息学院数学系，山东 泰安 271018）

由实对称矩阵与实二次型的联系，巧妙地选取两组等价向量代入实二次型，依据结果及向量组的性质给出惯性定理的证明，简明清晰.

实对称矩阵；二次型；等价向量组；惯性定理

实对称矩阵的合同问题是代数学中的重要内容，它可以视为实多项式的实二次型中的问题.实对称矩阵的合同的一个重要定理是惯性定理，由此给出了实对称矩阵的正、负惯性指数（标）及符号差等重要概念.在线性代数中，惯性定理的传统证明，理论准备较多，证明相对繁杂，而本文利用选取的两组等价向量组所对应的二次型值的符号，简单且巧妙地给出了惯性定理的证明.

惯性定理是指二次型f（X）的规范型具有惟一性，即正负惯性指数（标）是定值.

惯性定理若实二次型f（X）=XTAX经过非退化线性变换

证明 由已知条件|P|≠0,|Q |≠0可知，矩阵P，Q都是可逆的.又由条件其中矩阵Q-1P与P-1Q都是可逆的.由此知向量Y与Z一一对应（等价）.所以若Y任取一组向量Y1，Y2，…，Yt，则由（1）可得到惟一的一组向量Z1，Z2，…，Zt，其满足事实上，若向量组Y1，Y2，…，Yt线性无关，则Z1，Z2，…，Zt也线性无关.若不然，Z1，Z2，…，Zt线性相关，则存在不全为零的系数k1，k2，…，kt，使得

两边同乘以矩阵P-1Q，得

从而向量组Y1，Y2，…，Yt线性相关，矛盾.同理可证若Y1，Y2，…，Yt线性相关，则Z1，Z2，…，Zt线性无关，向量组Z1，Z2，…，Zt线性无关.

因此，空间 ZI∩ZII=0 的秩不超过p+（n-q）=n+p-q≤n，故有p≤q.同理可得q≤p.因此得p=q，证毕.

[1]张禾瑞.郝鈵新.高等代数:第5版[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]徐丽媛,孟道骥.关于实对称矩阵的惯性定理[J].常熟理工学院学报:自然科学版,2007,21(10):1-6.

[3]赵立宽,齐登记.线性代数中几个定理的矩阵证法[J].洛阳大学学报,2005,20(2):105-107.

[4]史秀英.线性代数中两个定理的矩阵证明[J].赤峰学院学报:自然科学版,2008,24(1):16-17.

New Proof of the Theorem Inertia on the Real Symmetric Matrix

SHI Binbin1，2，LI Rensuo2，SHEN Youjian1
（1.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China；
2.Department of Mathematics，Shandong Agricultural University，Taian271018，China）

Based on the connection of the real symmetric matrix and real quadratic form,two equal selected vector were introduced into real quadratic forms,according to the results and the nature of the vector group,the inertia theorem was proved concisely and clealy.

real symmetric matrix；quadratic form；equivalent vectors；inertia theorem

O 151.2

A

1674-4942（2012）01-0026-02

2011-12-07

毕和平