蔡晓艳 黄梅

“几何与图形”是义务教育数学课程标准设置的四大学习领域之一，在小学数学中占有重要的地位，对培养儿童的初步空间观念起着不可替代的作用，但受儿童认知结构、心理特征以及思维水平等因素的影响，他们在学习这一部分内容时会遇到一些困难，这就需要教师采取相应的策略，给予学生有效的引导。

一、几何图形学习和应用中存在的困难

几何概念是空间形式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物共同属性的思维形式，是构建几何知识大厦的基石，既是几何基础知识，又是数学基础知识的重要组成部分。

几何概念学习过程，就是对客观事物中一类有关空间形式的本质属性进行抽象概括的过程，也是舍去该类对象非本质属性的过程。根据奥苏贝尔有意义学习理论，小学生主要是通过概念形成和概念同化两种认知方式学习、掌握数学概念的。而影响小学生几何概念学习的因素有很多，如学生的经验，学生的认知结构和认知方式，以及教师教学时材料的呈现形式等。

1？郾学生经验对几何概念学习的影响。认知心理学的研究认为，学生经验对几何概念学习有积极的促进作用，也有消极的阻碍作用。经验对概念学习产生的负效应具体表现在：

第一，当几何概念与日常生活经验在语义上不一致时，经验会阻碍概念的学习。例如关于“圆”，在几何概念中，圆是指一条特殊的封闭曲线，而生活经验中却把圆面说成圆，有的学生说“圆心在圆上”就是错误地把日常经验中的“圆”当成了几何概念。

第二，当几何概念与日常经验在语汇上相近时，经验也会阻碍概念学习。例如，几何概念中的“垂直”与日常经验中的“竖直”在语汇上较为接近，学生往往会将“垂直”理解为是“竖直”的状态。如图1，有学生就认为图1-1、1-2的垂直状态，而图1-3不是，究其原因，也就在于此。

第三，当几何概念较为抽象时，往往难以摆脱临近的经验。例如，学生对“线”、“直线”等认识，学生常常会自觉地依靠“毛线”这样的经验来支持。因而对“直”、“无限”等本质属性的认识就比较困难。

2？郾认知结构、认知方式对几何概念学习的影响。数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，是一种经过学生主观改造后的数学知识结构。它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，是学生已有数学知识在头脑里的组织形式，并且它是一个不断发展变化的动态结构，是一种多层次的组织系统，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。如，三角形及其面积计算认知结构，一方面要反映三角形的概念和性质、三角形的面积计算公式等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、储存、提取一系列活动的组织方式。

学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于认知主体不同，学生头脑里的数学知识在内容和组织方面也就不同，认知结构存在着个体差异性，从而影响学生对几何概念的学习和掌握。学生原有认知结构中对新的学习起固定作用的观念的可利用性差，会阻碍概念的学习。例如，学生原有认知结构中，如果没有平行的概念及特征等观念起固定作用，他们就不可能形成有关平行四边形的概念特征的认知结构。学生原有认知结构中，固定作用的观念的可辨别性差（即不能清晰地辨认新旧知识的联系）、不稳定甚至模糊不清，都会对几何概念的学习产生负效应，阻碍学生实现原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。

认知方式是指个人在认知过程中经常采用的习惯化的方式，具体说，就是在感知、记忆、思维和问题解决等信息加工过程中个体所偏爱的习惯化了的倾向和方式。每个人都有自己独特的认知方式，致使他们在几何学习活动中的进程不同，对几何概念的学习也会产生影响。

3？郾教师教学时材料的表现形式对概念学习的影响。感性材料的表现形式对几何概念的学习和掌握也有重要影响。如果教师提供的感性材料都是一些“标准”的实物或图形，学生的感知就会不充分、不丰富，他们就难以区分一类对象的本质属性和非本质属性。例如，有的学生在学习“垂直”时，仅停留在图2-1的标准形式上，而对图2-2，2-3的变式形式却不认为是直角。有的学生在学习“直角三角形”概念时只知道像图3这样的直角在左下方的三角形才是直角三角形。

另外，一些教师在讲授“角”的概念时，往往在黑板上只呈现图4-1这样的“角”，久而久之，学生就会形成一种错误认识：只有图4-1才是“角”，其他的都不是“角”，特别是对平角（4-4）、周角（4-5）的认识更是不足。

学习“梯形”概念时，有的学生只知道水平放置的，并且都是上底短，下底长的标准图形才是梯形。造成学生错误认识的原因，一是教师提供的都是一些标准图形，二是学生空间观念发展的特点之一是偏重于标准图形。这就要求教师在教学时注重变式练习。

4？郾直观、感知在应用中的影响。直观，从字面上理解是直接观察的意思。狭义理解是用眼睛看，用视觉，而广义理解则包括由听觉、味觉、触觉、嗅觉等获得的感知。俗话说，“眼见为实”。但数学却只是在一定程度上认可眼见为实，它并不认可“眼见为真”。图5是两条相互垂直的线段，有的小学生观察后认为线段CD比线段AB长，这也许是实际的感觉，但真实的结论是两条线段一样长。所以，实际的感觉不一定就是真理。在图6和图7中，有的学生认为线段（2）比线段（1）长，线段（4）比线段（3）长。其实，包括思维水平发展完善的成年人有时也会这样认为。

二、几何图形的教学策略

研究认知发展的心理学家发现，儿童吸收知识时的思维方式与成年人大不相同。因此，作为一名小学教师，要教儿童知识就必须先了解儿童是如何学习知识的，要教会儿童思维，就必须先了解儿童是如何思维的。

1？郾利用学生的生活经验教学。学生的经验是学习空间与图形的起点，数学课程标准强调“数学课程教学要“从学生已有的生活经验出发”，同时强调“数学学习活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础上。”在学生现实空间中有着许多的几何图形，在现实活动中积累了一定的生活经验，丰富了原认知结构，这对学生的学习和教师的教学都是非常宝贵的资源。教师要充分利用学生的生活经验进行教学，当学生的生活经验与几何概念不同时，要及时引导学生识别、认清几何图形的本质属性，摆脱生活经验的负面影响。例如，在学习“圆的认识”时，教师可以问学生：“你们见过的车轮是什么形状的？”由于学生已有较丰富的生活经验，他们还会列举出钟面、圆桌等实物，这对学生认识圆是很有帮助的，这时教师要及时引导学生认识到圆是指一条特殊的封闭曲线，而不是生活中的圆面。

2？郾选用典型材料，强化重要的弱刺激。概念的本质属性越明显、越突出，就越利于学生对概念的理解和掌握，而概念的非本质属性越多、越不明显，就越不利于学生对概念本质属性和非本质属性的辨别，学生就难以理解和掌握概念。因此，在教学中要选用那些能反映概念本质属性的典型材料来说明概念。例如，在教学“平行四边形”时，教师展示的平行四边形应该是两组对边是不等长的，如果教师展示的平行四边形看上去两组对边差不多长，那么四边等长这个非本质属性就会迷惑学生。

从图8比较两个图形的面积，学生容易被强刺激部分，即平行四边形的边较长这个非本质特征所迷惑，掩盖了弱刺激部分，即等底等高这个本质属性，误认为平行四边形的面积比长方形的面积大。因此，如果弱刺激部分很重要，对解题有着本质的影响，那么就要强化重要的弱刺激，在这里教师可以通过让学生仔细观察以及语言上提示或图形上提示（作辅助线）等来强化，使学生获得正确的认识。

3？郾重视变式、反例。变式就是变换概念肯定例证的非本质属性，以突出本质属性。反例是故意变换事物的本质属性，使其变质为其他事物，在引导学生思辨中从反面突出事物的本质属性。突出本质在几何概念形成的过程中，概念的肯定例证传递了最有利概括的关键信息，概念的否定例证则传递了最有利于辨别的信息。因此，在几何概念的学习中，不仅要运用肯定例证的变式，也要运用否定例证。

如果说“标准图形”是为了使学生更好地抽象出对象的性质特征的话，那么运用对“变式图形”的观察就是为了帮助学生更好地将获得的性质特征概括到同类对象中去。例如，在教学“梯形”概念时，教师可以先向学生呈现“标准图形”，接着在展示“变式图形”和反例，如图9。

图9-1、9-2、9-3是梯形的变式图形，通过变换梯形摆放的位置、方向、角的性质等非本质属性，突出梯形“只有一组对边平行的四边形”这一本质属性，学生认识了梯形的各种表现形式，留在脑中的梯形表象将更加鲜明，理解更加深刻。图9-4、9-5是梯形的反例，其中图9-4故意变换“只有一组对边平行”为两组对边分别平行，使梯形变质为平行四边形，以突出了梯形“只有一组对边平行”的本质属性。图9-5故意变换“四边形”为“五边形”，从而突出了梯形是四边形的本质属性。

4？郾重视直观感知。小学生认识事物带有很大的具体性和直观形象性，根据理解与感知的关系，在教学中要高度重视学生的感知活动。一方面在理解前引导学生充分利用操作和观察等活动全面感知学习材料，让他们在头脑里建立起所学数学知识的丰富表象，以此为理解过程中的思维加工提供材料和依据。另一方面在理解过程中，特别是在对那些内容非常抽象的数学知识理解过程中，教师要注意适时地给学生提供恰当的感性材料，以此为学生抽象逻辑思维的顺利进行提供必要的支持，保证他们的思维过程得以顺利进行。学生观察图5、图6、图7等几个图形时，往往被眼睛所“欺骗”，其实这也是缺乏直观学习的一种表现。重视直观感知，使学生获得充分的感性认识，更有利于学生从感性认识上升到理性认识，从而正确理解和掌握事物的本质属性。

5？郾重视“做”。这个“做”包含有很多含义，简单理解就是动手做，亲自实践，亲身经历数学。数学课程标准中就有让学生学会“做数学”、“用数学”、“数学的思考”等内容。皮亚杰说过：“思维从动作开始，切断动作和思维的联系，思维就得不到发展，人的手脑之间有着千丝万缕的联系。”所以在学习的过程中不仅用眼睛来看，还要动脑思考，更要让学生亲自动手做，在“做”中学习数学知识，激发学生的学习热情，强化认识，发展创新意识和实践能力。

例如，在教学“观察物体”画三视图时，可让学生通过搭积木、搭几何学具等活动形成初步的空间方位感，进而发展空间观念。在教学“轴对称图形”时，可让学生通过剪拼、折叠活动的体验来加深对轴对称图形的认识。在教学“面积”时也可以让学生动手剪一剪、拼一拼几何图形，而不仅仅记忆公式，通过“做”更利于学生形成表象，重视图形形状，加深认识。又如，给定学生一个图形可以让学生利用火柴棒来重现一个相同形状的图形，以此加深学生对图形形状特征的感觉。还可以让学生通过测量活动来加深对“长度”、“面积”等概念的认识，对形体的大小、位置和关系建立清晰的表象。如在图5、图6、图7等图中，如果学生能够用直尺测量一下的话，他们将不会被迷惑，从而获得正确的认识。还有做游戏、实验操作、作图活动等形式，这就需要教师根据教学内容，因人制宜地具体处理。

作者单位

昆明市官渡区云溪小学

玉溪师范学院数学系

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