周 蕴

(郑州市规划勘测设计研究院，郑州450052)

1.引言

经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差［1，2］。

边角网中，选取的参数往往是待定点的坐标，而观测值一般为方向值、角度值或边长，因而观测值和参数之间建立的关系均是非线性函数［3］。如果不给出近似坐标，观测方程就无法线性化，误差方程就无法列出。因此如何选取近似坐标，假定自由坐标在自由网平差中的可靠性是个不容忽视的问题。本文对自由网平差中选用不同近似坐标对平差计算结果的影响进行了详尽的分析和研究。

2.自由网平差原理

函数模型:

随机模型:

其中R(A)=t-d，d为秩亏数，在最小二乘原则下，求得法方程为:

式中R(N)=R(A)=t-d。由于N是奇异的，即法方程是相容方程，它可以有无数解。因此，附加一个最小范数条件:

从而得到法方程的唯一解:

(5)式中，N+为N的伪逆，上述平差方法即为秩亏自由网平差。

3.近似坐标的计算

考虑到变形监测的边角网大多为边角同测网，在计算近似坐标时可采用极坐标法。极坐标法的基本思路:若存在已知方位角，首先判断该方位角的起点是否是已知点A，终点是否是所求的待定点P，如果是，搜索边长AP即可按极坐标公式计算坐标;若没有已知方位角或其终点不是P，则搜索与P有方向观测的已知点A，再由A搜索另一个已知点B，且A到B有方向观测值，于是可求出AP的方位角，再搜索AP的边长观测值，由极坐标公式即可计算P点的坐标。……