蔡吉花，　丛凌博

(黑龙江科技学院 理学院, 哈尔滨 150027)



一类人口发展系统生育率的双控制问题

蔡吉花，丛凌博

(黑龙江科技学院 理学院, 哈尔滨 150027)

研究了一类时变人口发展系统，把非竞争生育率和竞争生育率作为双控制元讨论了一类时变人口发展系统最优控制问题。利用泛函分析方法，证明了时变人口发展系统优化控制元的存在性和唯一性。

人口发展系统; 生育率; 闭凸集; 双控制元

0引言

人口发展系统的研究历史悠久,从最初的常微分方程的人口模型——Malthus人口模型和考虑竞争的Logistic模型,发展到如今广泛使用的偏微分方程人口模型。在考虑竞争条件下,多个数学家提出并完善的人口发展系统:

(1)

偏微分方程人口模型形式的不同主要体现在妇女总和生育率β(r,t)的不同表示。文献[1]中对问题(1)的β(r,t)=β(r)时,利用算子半群理论得到解的唯一性和稳定性,为使我国人口趋于稳定,生育率控制在β≤2.16。文献[2-3]进一步发展了人口系统的渐进性和稳定性理论。文献[4]中首先提出了考虑竞争生育率的人口模型(1)。在文献[5]中用特征线法讨论了人口模型(1)的迭代解。关于人口系统问题(1)中生育率β(r,t)的最优控制问题,文献[6-8]分别研究了β(r,t)=β(r)、b(r)、c(r)作为控制元的人口系统的最优控制问题。以往的人口模型的最优控制问题都是以生育率的单个控制元作为研究对象,笔者将β(r,t)=b(r)-c(r)p(t)中的(b(r),c(r))作为双控制元函数,把人口模型的两个生育率作为控制对象,讨论了双最优控制元的存在性和唯一性。

记Ω=[0,rm]×[0,T],I=[0,rm],T是所考虑的最大时间范围,取t时刻人口的总数p(0)(t)=C,在Ω中式(1)成为如下问题: