堵秀凤，李晓红，邵为爽

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

研究报告

一类色散耗散波动方程的整体强解

堵秀凤，李晓红，邵为爽

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

对一类四阶非线性色散、耗散波动方程的初边值问题进行研究．在非线性项和初值满足一定条件的前提下，利用位势井方法得到其整体强解的存在性，并给出了问题解的某些集合在流之下的不变性．

非线性波动方程；位势井；整体强解；存在性

MSC 2010：35L35；35L82

在研究非线性弹性中纵向杆形传播［1－4］及弱线性作用下空间变换离子声波传播［5］问题时，分别得到主部含有utt－uxx－uxxtt但非线性项各不相同的一些非线性发展方程．在文献［1－5］中分别讨论了这些方程的孤立波解及某些数值结果．关于这些方程的初边值问题及初值问题局部解整体解的存在唯一性也有一些研究［6－9］．考虑到实际物理背景中粘性耗散不可避免［10－11］，则可得到一些主部为utt－uxx－uxxt－uxxtt的非线性色散波动方程［11］，2000年尚亚东在文献［12］中用Galerkin方法与能量估计研究了如下方程的初边值问题

即源项为负，外力方向与位移方向相反，故可用Galerkin方法与能量估计得到式（1）～（3）的整体强解．

1968年，Sattinger［14］提出了位势井方法，用以证明不具有正定能量的双曲方程的整体解的存在性．此后，有很多作者［13－18］用位势井方法研究了不同的非线性发展方程解的整体存在性与不存在性．本文研究问题（1）～（3）非线性项满足f（u）u≥0的情形，其中Ω∈Rn为有界域，n≥1．它的基本模型方程是utt－Δu－Δut－Δutt＝｜u｜p－1u，即源项为正，外力方向与位移方向相同，故不能用文献［12］中方法．另外，为了得到同样的整体解的存在性，对f（u）u≥0的情形要比f（u）u≤0的情形加上更强的增长条件．而本文当n≥3时，对f（u）加的增长阶是文献［12］中方法．另外，为了得到同样的整体解的存在性，对f（u）u≥0的情形要比f（u）u≤0的情形加上更强的增长条件．而本文当n≥3时，对f（u）加的增长阶是文献［12］中的2倍．故本文研究的问题不但与文献［12］有本质区别，而且结果也有实质性的推广和改进．关于这类方程，在文献［12］中只研究了其解的整体不存在性与blow－up，而没有考虑其整体解的存在性问题，在其它文献中也未见到有关结果．只是最近在文献［21］中，刘亚成和徐润章考虑了问题（1）～（3）弱解的存在性．而对于该问题强解的存在性问题依然没有给出明确的回答和适当解决．故本文的目的就是来证明问题强解的存在性，同时给出问题在流之下的不变集合．

1 位势井族的引进及其性质

2 整体强解的存在性

3 位势井及井外集合在流之下的不变性

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（责任编辑：王兰英）

Strong solutions to a class of wave equations with dispersive－dissipative terms

DU Xiu－feng，LI Xiao－hong，SHAO Wei－shuang
（College of Science，University of Qiqihar，Qiqihar 161006，China）

The initial－boundary value problem for a class of nonlinear dispersive－dissipative wave equations of fourth order were studied．Under some conditions on the nonlinear term and the initial data，by the potential well argument we discuss the existence of global strong solutions and give the invariance of some sets of the solutions to the problem under the flow．

nonlinear wave equations；potential well；global solution；existence

O175．26

A

1000－1565（2012）04－0337－05

2011－12－07

黑龙江省自然科学基金资助项目（A201014）；黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12511610）

堵秀凤（1956－），女，浙江绍兴人，齐齐哈尔大学教授，主要从事微分方程方向研究．E－mail：lxydxf807＠126．com