孙　璐,　张法勇,　陈洪海,　王　春

(1.黑龙江科技学院 理学院, 哈尔滨 150027;2.黑龙江大学 数学科学学院, 哈尔滨 150080)



Zakharov方程组全离散Fourier谱格式的稳定性

孙璐1,张法勇2,陈洪海1,王春1

(1.黑龙江科技学院 理学院, 哈尔滨 150027;2.黑龙江大学 数学科学学院, 哈尔滨 150080)

Zakharov方程组; Fourier谱格式; 全离散; 稳定性

0　引　言

在等离子物理学中出现如下方程组的周期初边值问题:

iEt+Exx=NE,

(1)

(2)

E(x,0)=E0(x),

(3)

N(x,0)=N0(x),Nt(x,0)=N1(x),

(4)

E(x+L,t)=E(x,t),N(x+L,t)=N(x,t)。

(5)

其中,未知复值函数E(x,t)为高频电场的包络波解,N(x,t)为未知实值函数是离子数密度在平衡态附近的扰动。1979年,C.Sulem和P.L.Sulem对一维Zakharov方程组的弱解的存在性进行了研究,解决了方程组的真实解的存在性问题[1]。1992年,R.T.Glassey利用差分法给出了一维Zakharov方程组的近似方程组, 验证了所给方程组具有守恒性质, 其收敛阶达到了步长的O(h2)[2]。1996～1997年,张法勇、向新民等利用Fourier拟谱方法对Zakharov方程组[3-4]和Schrodinger方程[5]进行了误差估计。2010～2012年,孙璐利用Fourier谱方法给出了半离散和全离散Fourier谱格式,证明了格式离散解的存在性和收敛性,得到了半离散Fourier谱格式解的稳定性[6-8]。文中主要借助谱方法[9]在时间和空间方向研究已建立的全离散Fourier谱格式离散解的稳定性。

文中所用符号说明同文献[8]。

其中设

tn=nΔt≤T,En=E(·,tn),Nn=N(·,tn),

(6)

(7)

(8)

(9)

式(9)左边第一项,得

式(9)左边第二项,利用周期性,分部积分得

式(9)右端得

因为,

综上可知,

证毕。

则有下面定理成立。

An-1+Bn-Bn-1)≤CΔt(Θn+Θn-1),

(10)

(11)

考虑式(11)等号左端第一项有

式(11)等号左端第二项,利用周期性,分部积分得

式(11)等号右端,

(12)

式(12)等号右端第一项:

(13)

式(13)等号右端第三项:

式(12)右端第二项:

(14)

式(14)右端第三项:

式(14)右端第四项:

综上可知

Bn-Bn-1)≤CΔt(Θn+Θn-1)。

证毕。

(15)

(16)

式(16)等号左端第一项,利用……