张　宁,　张　娣,　史小艺

(1.中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 221116; 2.中国矿业大学 管理学院, 江苏 徐州 221116)



分数阶微分方程耦合系统多点积分边值问题的解

张宁1,张娣2,史小艺1

(1.中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 221116; 2.中国矿业大学 管理学院, 江苏 徐州 221116)

文中讨论了一类非线性Caputo型分数阶微分方程耦合系统多点积分边值问题解的存在性。在一定条件下，给出格林函数，用Schauder不动点定理得到了解存在的充分条件。数值算例说明了所得定理的适用性。

分数阶微分方程； 多点边值问题； Green函数； 不动点定理

0　引　言

近些年来,分数阶导数及分数阶微分方程在科学、工程和数学等领域得到了重要应用,分数阶微分方程边值问题的理论研究,获得了不少研究成果[1-8]。值得注意的是,分数阶耦合系统多点边值问题作为分数阶边值问题的一种情况,近年来得到研究者们的重视[5-8],如文献[5]研究了分数阶耦合系统反周期边值问题

受上述文献启发,笔者利用不动点定理,研究一类非线性的Caputo型分数阶微分方程耦合系统多点积分边值问题(BVP)

(1)

1　预备知识

定义1[3]函数u:(0,+∞)→R的α阶Riemann-Liouville分数阶积分为

其中α>0,Γ(·)为Gamma函数。

定义2[3]函数u:(0,+∞)→R的α阶Caputo分数阶导数为

其中α>0,Γ(·)为Gamma函数,n为大于或等于α的最小整数。

引理1[5]令u∈Cm[0,T]且α∈(m-1,m],m∈N。那么对于t∈[0,T],

引理2假设y(t)∈C[0,1],那么分数阶微分方程边值问题(BVP)

(2)

等价于积分方程

其中,

证明应用引理1,有

u′(0)=

因此,

(3)

反过来,也很容易证明满足式(3)的解也是BVP(2)的解,得证。

2　主要结果

假设(u,v)∈X×X是BVP(1)的一个解,则

定义映射T:X×X→X×X,

(4)

(5)

其中,

为方便,引入记号：

定理1假设下列条件成立,