郝前勇，宗兆云

（中国石油大学 地球科学与技术学院，山东 青岛 266555）

0 前言

概率化反演是求解不适定反演问题的有效方法之一。概率化方法包括概率分布匹配解、最大似然解和贝叶斯解。其中，概率分布匹配解和最大似然解仅考虑了数据的不确定性，未考虑模型不确定性；而贝叶斯解既考虑了数据不确定性，又考虑了模型不确定性。Buland和Omre［1］提出了贝叶斯线性AVO反演方法，该方法可以反演得到地层的纵横波速度和密度信息，但未考虑参数间的耦合关系；Downton［2］在贝叶斯反演理论的基础上探索了AVO三参数及波形反演，得到纵波、横波阻抗和密度的反射系数值；杨培杰［3］利用贝叶斯反演理论实现了叠前三参数同步反演。

自Connolly［4］提出弹性阻抗概念以来，弹性阻抗反演作为一种高效的叠前地震反演策略，在科研和生产中得到广泛关注和应用［5］。印兴耀［6］等提出先反演纵、横波速度和密度参数后计算纵、横波阻抗、拉梅常数、泊松比等岩性参数的弹性阻抗反演方法。为了得到更准确的岩石物性参数，减小计算的累计误差，王保丽等［7、8］提出了基于Gray近似的弹性波阻抗反演方法，通过对基于拉梅参数的反射系数近似方程［9］进行积分推导，得到利用拉梅参数表示的弹性阻抗方程，通过反演和参数直接提取可以得到拉梅常数，减小了间接计算的累计误差。

作者在本文利用拉梅参数弹性阻抗方程，实现了一种弹性阻抗贝叶斯反演方法。首先在贝叶斯反演理论框架下，假设待反演的模型参数服从柯西分布，实现了不同角度弹性阻抗反演；其次基于拉梅参数弹性阻抗方程，实现了拉梅参数直接反演；最后通过实际资料表明，基于柯西先验的弹性阻抗反演结果合理可靠，具有较高的分辨能力，且提取的弹性参数能够较好地吻合实际钻遇结果。

1 拉梅参数弹性阻抗方程

与常规纵横波速度相比，指示孔隙流体可压缩性（或不可压缩性、体积模量）和岩性变化的剪切刚性（或剪切模量）等，可提高对储层岩性及流体的识别。岩石模量参数比声波速度和波阻抗更易理解［9］。第一拉梅参数（λ）对孔隙流体比对骨架敏感，而第二拉梅参数（μ）仅仅受骨架连通性的影响。与λρ和μρ相比，μ的信噪比提高了两倍；λ的信噪比提高了四倍［5］，克服了由密度参数ρ引进的不确定性信息。因此，我们拟采用拉梅参数弹性阻抗方程，在本文开展贝叶斯反演方法研究。

基于拉梅参数和密度的纵波反射系数近似方程为［10］：

其中 α、β、ρ分别是纵波、横波速度和密度；θ为纵波入射角；λ、μ为第一拉梅参数和第二拉梅参数。

类比常规弹性阻抗方程推导过程，可以建立拉梅参数弹性阻抗方程为［8］：

2 弹性阻抗贝叶斯反演

贝叶斯理论中先验概率分布、似然函数，以及后验概率分布间的关系如图1所示。一般假设模型参数和似然函数分别服从某种概率分布，然后通过贝叶斯公式得到的后验概率分布能够大大降低先验的不确定性。

图1 贝叶斯理论中先验、似然函数与后验分布间关系图Fig.1 The relation diagram of prior distribution，likelihood function and posterior distribution in Bayesian theory

在弹性阻抗贝叶斯反演中，假设部份角度叠加道集的噪音服从高斯分布，则描述合成地震记录与观测数据相似程度的似然函数为：

其中 m为待反演的弹性阻抗反射系数；d为角度部份叠加道集；p（d｜m）为似然函数；σn为噪音方差；G为子波矩阵。

假设待反演参数的先验信息服从柯西分布为［2、3］：

其中 σm为待反演参数先验方差，可以通过测井资料统计获得。

由公式（3）和公式（4）得，待反演参数后验概率密度为：

方程（5）右侧最大化得反演目标函数为：

方程（6）右侧第一项表示合成地震记录与观测数据相似程度，第二项为模型先验约束。同时，为提高反演稳定性，可以考虑根据弹性阻抗与待反演参数间的定量关系加入弹性阻抗约束。弹性阻抗EI（θ，t）与待反演弹性阻抗反射系数R（θ，t）间的关系为：

联合方程（6）和方程（7）可得反演最终目标函数变为：

可以采用共轭梯度法对方程（8）进行优化求解，然后根据方程（7）获取地层不同角度绝对弹性阻抗。

3 拉梅参数直接提取

由于方程（2）具有非线性特征，我们可以将其变换到对数域：

在同一入射角情况下，各采样点处a（θ）、b（θ）、c（θ）相同，则式（9）变为：

通过井旁弹性阻抗和测井数据回归计算得到公式（10）中各权重系数，并将不同角度的弹性阻抗数据带入方程（11），即可求得λ、μ、ρ数据体。

4 应用实例及效果分析

国内、外许多学者通过模型试算，对柯西先验在提高反演可靠性等方面的优势已进行许多研究［2、3、11、12］。作者在本文主要通过实际资料来测试基于柯西先验的弹性阻抗反演方法，在实际资料解释时的优势。实际资料为西部某勘探工区，在工区内过A井的三个纵测线叠前部份角度叠加地震剖面如图2所示，黑色曲线为电阻率曲线。据测井解释结果，该区储层类型可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类，其中Ⅰ类和Ⅱ类储层为主要产层。

结合地震解释层位和测井资料，提取弹性波阻抗反演所需的各角度子波（如下页图3所示）。按振幅的高、低，从上到下依次为大角度子波、中角度子波和小角度子波，三个不同角度地震子波极性相近，振幅随角度的增大依次增大。利用该组子波分别采用常规方法和作者在本文提出的反演方法进行弹性波阻抗反演，得到的各角度弹性阻抗如下页图4所示。其中图4（a）、图4（b）、图4（c）依次为常规方法得到的小、中、大角度弹性阻抗，图4（d）、图4（e）、图4（f）依次为作者所提出的方法得到的小、中、大弹性阻抗。通过对比分析可知，根据作者在本文中提出的方法得到的弹性阻抗合理可靠，如图4中圈定区域所示，该有利储层在地震剖面上响应一般，而作者在本文提出的方法得到的弹性阻抗剖面上有较好的显示。

图2 过井A的纵测线叠前部份角度叠加地震剖面，井曲线为电阻率曲线Fig.2 Partial angle stack seismic section through well A，the curve is resistivity curve

结合测井解释结果，对井曲线统计分析可知，本工区第一拉梅参数（Lambda）、第二拉梅参数（Mu）能较好地指示储层类型，Ⅰ类储层处均显示低值，如下页图5所示。利用叠前弹性阻抗体，基于Gary近似直接提取得到过井A的拉梅参数和密度剖面如下页图6所示，图6中圈定区域为A井的两个主力产气层，至上而下依次为气层一和气层二。图7（见后面）是过气层一、气层二的沿层切片。

由图6、图7可以看出，拉梅参数（Lambda和Mu）在有利储层处均显示低值，且第二拉梅参数（Mu）的敏感性更高，和井上的岩石物理交会分析吻合，密度在有利储层也呈低值显示。

5 认识与讨论

作者在本文发展了一种基于柯西先验分布的的弹性阻抗贝叶斯反演方法，并在此基础上实现了可直接检测油气的岩石模量直接提取，形成一套岩石模量叠前反演预测技术。经对实际资料的应用表明，基于柯西先验的弹性阻抗反演方法合理可靠，具有较高的分辨能力，且提取的弹性参数能够较好地吻合实际钻遇结果。

［1］BULAND A，OMRE H.Bayesian linearized AVO inversion［J］.Geophysics，2003，68（3）：185.

［2］DOWNTON J.E，LINES L.R.Constrained three parameter AVO inversion and uncertainty analysis［A］.71th Annual International Meeting，SEG，2001.

［3］杨培杰.地震子波盲提取与非线性反演［D］.东营：中国石油大学，2008.

［4］CONNLLY P，Elastic impedance［J］.The Leading Edge，1999，18（4）：438.

［5］GRAY F D.Elastic Inversion for Lame parameters［C］.Expanded Abstract of 72th SEG Mtg，2002.

［6］印兴耀，袁世洪，张繁昌.从弹性波阻抗中提取岩石物性参数［A］.中国石油学会物探专业委员会及美国地球物理学家学会，CPS／SEG 2004国际地球物理会议论文集［C］.北京：CPS／SEG 2004国际地球物理会议，2004.

［7］王保丽，印兴耀，张繁昌.基于Gray近似的弹性波阻抗方程及反演［J］.石油地球物理勘探，2007，42（4）：435.

［8］WANG BAOLI，YIN XINGYAO，ZHANG FANCHANG.Laméparameters inversion based on elastic impedance and its application［J］.Applied Geophysics，2006，3（3）：174.

［9］GRAY D.Bridging the gap：using AVO to detect changes in fundamental elastic constants［C］.59thAnn Internet Expanded Abstract of SEG Mtg，1999.

［10］GRAY D，ANDERSEN E.The application of AVO and inversion to the estimation of rock properties［C］.Expanded Abst racts of 70th SEG Mtg，2000.

［11］SACCHI M D，ULRYCH T J，High－resolution velocity gathers and offset space reconstruction［J］.Geophysics，1995，60（4），1169.

［12］ALEMIE W，SACCHI M D.High－resolution threeterm AVO inversion by means of a Trivariate Cauchy probability distribution［J］.Geophysics 2011，76（3）：43.