刘明华

统一混沌系统的电路设计

刘明华

（井冈山大学电子与信息工程学院，江西，吉安343009）

对统一混沌系统的动力学行为进行了分析，包括平衡点、Lyapunov指数谱和计算机模拟。根据统一混沌系统的状态方程，设计了其混沌电子电路，并对混沌电路设计过程进行了详细的推导和分析。给出了统一混沌系统的计算机模拟结果和硬件电路实验结果，两者结果一致，证明了电路设计方法的可行性。

混沌；统一混沌系统；电路设计；硬件电路实验

1963年，Lorenz发现了第一个经典混沌系统[1]，即Lorenz系统。在此基础上，Chen和Ueta用混沌反控制方法发现了一个与Lorenz系统对偶的新混沌系统，即Chen系统[2]。之后，Chen和Lü进一步发现了一个在Lorenz系统与Chen系统之间起着关键桥梁作用的混沌系统，即Lü系统[3]。这三个系统之间都是拓扑不等价，但都是一个简单的三阶二次自治微分方程，方程的右边都有两个二次非线性项，都能产生双涡卷混沌吸引子，具有类似但不相同的动力学行为。在他们的努力下，这三个被统一起来，被称为统一系统[4]。近些年来，混沌的生成与应用研究已成为一个热点，尤其是混沌电路的实现方面[5-7]。

本文在统一混沌系统的基础上，分析了它的动力学行为，包括平衡点、Lyapunov指数谱。更进一步，设计了实现统一混沌系统的电子电路，电路中运算放大器都采用信号从反相输入端输入，同相输入端接地，这种设计方法可以使得所设计的电路简洁统一、电路中元器件参数具体值与系统中系数具有对应关系，文章最后给出了统一混沌系统的计算机模拟结果和硬件电路实验结果。

1 统一混沌系统的动学行为

根据参考文献[4]，统一混沌系统的状态方程可表示为

其中参数。考虑系统(1)的线性部分，一个常数矩阵，Vanecek和Celikovsky提出的一个临界条件是[8]。根据这个条件，系统的整个混沌系统族可以分为如下几类：(1)若，有，则系统属于广义Lorenz系统；（2）若，有，则系统属于广义Lü系统；（1）若，有，则系统属于广义Chen系统[9]。系统(1)随变化的Lyapunov指数如图1所示，且当时，系统的最大Lyapunov指数达到Lyapunov指数谱的最高峰，即。如图2是系统(1)中取三个不同值时的计算机模拟结果。

图2　系统(1)计算机模拟结果

2 混沌电路设计

由(4)式所得吸引子的计算机模拟如图3所示。很显然，图3中各变量的动态范围已经限制在运算放大器的线性范围之内。

图4　统一混沌系统电路图

表1　参数与电阻（kΩ）关系

3 电路实验结果

图5　电路实验结果

4 结论

[1] Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow[J]. J. Atmos. Sci. , 1963, 20:130-141.

[2] Chen G R, Ueta T. Yet another chaotic attractor[J]. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1999, 9:1465-1466.

[3] Lü J H, Chen G R. A new chaotic attractor coined[J]. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(3):659-661.

[4] Lü J H, Chen G R, Cheng D Z, Celikovský S. Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system[J]. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(12):2917-2926.

[5] Liu M H, Feng J C, Tse C K. A new hyperchaotic system and its circuit implementation[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010, 20(4):1201-1208.

[6] 张朝霞, 禹思敏. 用时滞和阶跃序列组合生成网格多涡卷蔡氏混沌吸引子[J]. 物理学报, 2009, 58(1): 120-130.

[7] 刘明华, 冯久超. 一个新的超混沌系统[J]. 物理学报, 2009, 58(7):4457-4462.

[8] Celikovský S, Chen G R. On a generalized Lorenz canonical form of chaotic systems[J]. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(8):1789-1812.

[9] 陈关荣,吕金虎. Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M]. 北京: 科学出版社, 2003.

CIRCUIT IMPLEMENTATION OF UNIFIED CHAOTIC SYSTEM

LIU Ming-hua

(School of Electronics and Information Engineering, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

Some basic dynamical behaviors are analyzed in unified chaotic system including equilibrium, Lyapunov exponents spectrum and computer simulation. According to the state equation of unified system, a novel circuit is designed to realize the unified chaotic system and the detailed derivation of the circuit is given. Experimental observations agree with computer simulations, which can prove the feasibility of the chaotic circuit.

chaos; unified chaotic system; circuit design; hardware circuit experiment

TN710；TN918

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2012.04.013

1674-8085(2012)04-0057-04

2012-02-24；

2012-03-27

刘明华(1975-)，男，江西吉水人，副教授，博士，主要从事非线性电路与系统研究(E-mail:liuminghua2000@sina.com).