徐铭鞠，徐明跃

(哈尔滨师范大学)

1 状态描述

在过去的数十年中，非线性系统的观测器设计问题是一个非常积极的领域，出现了大量这方面的文献专著.非线性系统的状态观测器可以分为全维观测器和降维观测器.降维观测器只需估计与系统输出独立的部分状态即可.因此，和全维观测器相比，维数得以降低，即降维观测器可以由较少的积分器构成进而使整个控制系统变得相对简单.一般而言，非线性系统观测器的设计有两种方法.第一种是基于一种非线性状态变换，令动态误差系统线性化，因此设计状态观测器需运用到线性技术.第二种方法是则是不需要进行变换，直接基于原始的系统进行观测器设计［1-3，5-6，8-10］.

为便于叙述，本文引入如下记法:

考虑如下的一类Lipschitz非线性系统:

其中 x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，A∈Rn×n，C ∈Rp×n，Φ(x，u):Rn→Rn关于x是非线性的.

笔者总是假定(A，C)可观测，并且C是行满秩的.

定义1.1 对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果存在常数γ使得

则 γ称为 Φ(x，u)关于 x的 Lipschitz常数.称Φ(x，u)是关于x的Lipschitz非线性函数.对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果存在正定矩阵P和依赖于P的常数vp使得

则vp称为Φ(x，u)关于x的单边Lipschitz常数称Φ(x，u)是关于x的单边Lipschitz非线性函数.

对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果

其中f(x，u)=PΦ(x，u)，P是待求正定阵，M是一个实对称矩阵(不必负定或正定)称为PΦ的带有拟单边常数矩阵.称Φ(x，u)是关于x的拟单边Lipschitz非线性函数［6］，不等式(2)，(3)和(4)分别叫做Lipschitz条件，单边Lipschitz条件和拟单边Lipschitz条件.

注1.1 一个单边Lipschitz函数［5］显然是一个拟单边Lipschitz函数.另外，通过文献［11］中的注2知一个Lipschitz非线性函数一定是一……