孙文艳，钱方生

(哈尔滨师范大学)

0 引言

该文中群皆指有限群，所有术语和符号都是标准的.

樊恽、郭秀云等在文献［1］中提出了半覆盖远离性的概念后，引起了众多群论工作者的兴趣，不仅推广了C-正规的概念，而且推广了覆盖远离性的概念，并获得关于超可解的充分或必要条件.笔者利用4阶循环子群的半覆盖远离性和极小子群的一些基本性质，给出了幂零群的两个充分条件.

1 预备知识

定义1［1］设H是群G的一个子群，如果存在群G的一个主群列，1=G0＜G1＜… ＜Gt=G，使得对每一个 j=1，2，…，t，或者 H 覆盖Gj/Gj-1，或者H远离Gj/Gj-1，则称H在群G中具有半覆盖远离性.

定义2［2］称群G的元素x为群G中一个弱左Engle元，如果y是群G的任一阶与x的阶互素的素数幂阶元，则总有自然数n，使

引理1［3］设H是群G的一个子群，如果H在群G中具有半覆盖远离性，那么对任意满足H≤M≤G的子群M，H在群M中具有半覆盖远离性.

引理2［4］设群G为内幂零群，于是

(1)|G| 为 pαqβ，其中 p，q 为相异的素数.

(2)G=PQ，P ∈ Sylp(G)，Q ∈ Sylq(G)，P◁G，Q=〈a〉，不正规于 G.

(3)设c∈P，于是c是P的一个生成元的充分必要条件是c与a不可换.

(4)若P为交换群，则P为初等交换群.

(5)当p≠2时，exp(P)=p;当p=2时，exp(P)≤4.

(6)若 c为 P的一个生成元，则［c，a］ =c-1ca也是P的生成元.

(7)设N是群G真含在P内G的极大正规子群N= Φ(P)=P'，其中Φ(P)为Frattini的子群，P'为 P的导群 Z(G)=Φ(G)=Φ(P)×Φ(Q).

(8)P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群.

证明 (1)至(7)显然的.

(8)假设结论不成立，设 P1/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群，而

则Φ(P)◁P1◁P，这与Φ(P)是含在P中的G的极大正规子群矛盾，故结论(8)成立.

引理 3［5］设 G 是有限群，a，b，c∈ G，则［a，b］c= ［ac，bc］.

推论 设G是有限群，a，b，c∈G，n是自然数，则

2 主要结果

定理1 如果群G的每个素数阶元都是群G的弱左Engle元，2∈π(G)，群G的每个4阶循环子群在群G中具有……