谢启源，陆宇平，乔 兵，李 渊

(南京航空航天大学航天学院，南京 210016)

矢量传感器与标量传感器不同，存在自身误差源的同时，还受载体磁场及其姿态扰动的影响［1］，加上频谱范围很宽的地磁扰动［2］，要获得较高精度的测量磁场信息，必须对传感器进行校正。

磁传感器的校正方法有很多，但用于标量磁传感器的校正方法不能满足矢量传感器的需求，对磁矢量传感器的校正，国内外都有相关研究［1，3－8］，校正方法主要分成两大类［3］:第 1 类是将不同误差进行分别建模，并通过校正算法对每一种误差参数进行估计，从而实现整个传感器的校正，如基于 FLANN的误差校正算法［4］、基于线性参数化模型的校正算法［5］等；第2类是找到一个从测量值到真值的映射，实现传感器的校正，如基于椭圆拟合［6］和椭球约束［7］的校正算法等。第2类校正方法没有第1类校正方法那么直观，但可以同时校正多种误差。

本文提及的算法属于第2类校正方法，通过建立磁矢量传感器的误差模型，并在椭球约束算法的基础上，使用正交Procrustes分析方法提高校正精度，最终实现传感器的校正。

1 传感器误差模型及校正算法设计

假设磁矢量传感器的测量轴与载体坐标系重合，则其测量当地地磁矢量的真值应为在载体坐标系各轴上的投影，记为。磁矢量传感器的输出值为在传感器3个轴上的投影，记为。此时，若不存在测量误差和噪声，有，但在实际安装和测量情况下，理想无误差状态不存在，即一般情况下。本文介绍的校正方法就是估计一个映射关系f使得。

1.1 误差模型建立

其中:

矩阵Cs与标度系数误差相关，si(i=x，y，z)为i轴的标度系数偏差；Cη为安装位置偏差引起的误差，安装误差用欧拉角表示，ηx，ηy，ηz分别为按x，y，z轴旋转的小角度；Cα包含了软铁误差及传感器的三轴非正交误差，不失一般性，可以将其写成磁感应系数形式 αij(i，j=x，y，z)，αij表示j轴方向上的外部磁场对i轴方向产生感应磁场的磁感应系数，1+αii表示由于软铁因素的影响，造成i轴方向上磁场强度的放大或缩小，且Cα不一定是对称矩阵。式中表示硬铁偏差；为噪声向量，并假设三个轴的噪声相互独立；

在一般情况下矩阵C是可逆的，并令G=C－1。由式(1)可以获得到的映射可以表达为:

当载体所处位置和姿态已知时，地磁矢量在载体坐标系下的表示是已知常量，而且其模等于，而载体坐标系下表达式如下:

理论情况下，3个分量在不同姿态下的值将构成一个球心位于原点，半径为当地地磁场标量值的一个球面。当地地磁场参考值可以参考IGRF模型。对于测量值，从式(4)可以看出，不同姿态下的所有测量值被约束在一个椭球面上，硬铁误差决定椭球的中心位置、软铁误差和标度系数误差决定椭球的长短轴和扁率、安装角度误差和软铁误差决定了椭球长轴的指向。

再令:

2.维生素B1在细胞内的功能主要是通过辅酶实现。肝脏中的硫胺素在ATP存在时，经酶催化形成具有代谢活性的焦磷酸硫胺素（TPP），参与糖代谢，催化α-酮戊二酸和丙酮酸氧化脱羧基作用。葡萄糖是脑和神经系统的主要能源。当维生素B1缺乏时，α-酮戊二酸氧化脱羧障碍，中间产物丙酮酸和乳酸分解受阻而在组织内大量蓄积，加上能量供应不足，对脑和中枢神经系统产生毒害作用，严重时引起皮质坏死而呈现痉挛、抽搐、麻痹等神经症状。糖代谢障碍进而影响脂类代谢，维生素B1缺乏时脂质合成减少，髓鞘完整性被破坏，导致中枢神经和外围神经系统损害，引起多发性神经炎。

将式(4)展开，可得N组测量方程的线性形式:

第i组残差表达如下:

其中:

式(6)即为线性化量测方程。

1.2 参数估计

因为式(6)中H带有噪声，所以采用总体最小二乘法［9］对进行估计。将式(9)～式(11)联立可得:

定义性能指标:

将HTH进行奇异值(SVD)分解，取为H的最小奇异值对应的奇异向量时，即取时，f(ξ)最小，由式(13)可求出。根据式(12)可知:

1.3 解正交Procrustes分析提高校正精度

Procrustes问题就是求解下式的解的问题:

若矩阵R满足RTR=I的约束，式(17)就成了正交Procrustes问题［10］。易知，本文的应用属于均衡正交Procrustes问题。

因为地磁场模值与传感器姿态无关，所以前面的校正过程未涉及安装角度偏差，且暂避了RG的影响，现通过解均衡正交Procrustes分析来校正安装角度误差［11］，提高校正精度。令:

根据正交 Procrustes问题的解为［12］R=UQ，其中Q=ATB，且Q的奇异值分解为Q=UQΣQ。最终经修正后的传感器校正映射为:

2 校正性能仿真分析

软铁误差:

标度因子误差:

安装角度误差:

噪声为零均值的高斯噪声，仿真时为验证校正算法的鲁棒性，选择两种噪声水平进行仿真，分别取:σ1=0.001Gauss，σ2=0.01Gauss。

测量点设置为北纬 32°02'，东经 118°48'，海拔30 m。由IGRF模型知地磁矢量在地磁坐标系下为=［0.32944 0.03020 0.36946］Gauss。真值如图1所示，测量值如图2所示，传感器在两种噪声水平下工作，仿真结果如下。

图1 由IGRF模型获得的当地地磁场

图2 由预设误差所构造的测量值，为椭球噪声水平为0.001下的初步校正结果

由图3可知，初步校正与真值之间存在旋转关系，通过解正交Procrustes问题之后获得的仿真结果如图4。

图3 通过椭球约束法获得的初步校正结果

图4 噪声水平为0.001Gauss时的最终校正结果

从图4可以看出，校正算法在噪声水平为0.001Gauss时能获得很好的校正效果。将噪声水平提高到0.01Gauss时，最终的校正效果如图5所示，可以看出，噪声水平变大时，球体边缘毛刺较粗，可以通过后期进一步处理来解决，就校正结果而言，较好的实现了测量系统的校正。

图5 噪声水平为0.01Gauss时的最终校正结果

3 结束语

磁矢量传感器相对于标量磁传感器有许多优势，但是误差源也较多。本文所介绍的校正算法是结合了椭球约束法和正交Procrustes分析的磁矢量传感器校正算法，从仿真结果可以看出，该算法可以很好的对传感器进行校正，由于使用了总体最小二乘法，整个算法具有一定的鲁棒性。由于算法易于实现，为后期用于航空平台磁矢量传感器的校正提供较好的理论基础。

［1］张晓明，赵剡.基于椭圆约束的新型载体磁场标定及补偿技术［J］.仪器仪表学报，2009，30(11):2439－2443.

［2］徐文耀.地球电磁现象物理学［M］.合肥:中国科学技术大学出版社，2009:18－29.

［3］Gebre-EgziabherD.MagnetometerAutocalibration Leveraging Measurement Locus Constraints［J］.Journal of Aircraft，2007，44(4):1362－1368.

［4］吴德会，黄松岭，赵伟.基于FLANN的三轴磁强计误差校正研究［J］.仪器仪表学报，2009，30(3):449－453.

［5］张琦，潘孟春，陈棣湘，等.基于线性化参数模型的三轴磁场传感器校准方法［J］.传感技术学报，2012，25(2):215－219.

［6］李勇，刘文怡，李杰，等.基于椭球拟合的三轴磁传感器误差补偿方法［J］.传感技术学报，2012，25(7):917－920.

［7］Gebre-Egzhiaber D，Elkaim G H，Powell J D，et al.A Non-Linear，Two-Step Estimation Algorithm for Calibrating Solid-State Strapdown Magnetometers//8th International St.Petersburg Conference on Navigation Systems.2001:28－30.

［8］吴德会.基于SVR的三轴磁通门传感器误差修正研究［J］.传感器与微系统，2008，27(6):43－46.

［9］Gene H Golub，Charles F Van Loan.An Analysis of the Total Least Squares Problem［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1980，17(6):883－893.

［10］周拥军，寇新建.正交Procrustes分析及其在旋转矩阵估计中的应用［J］.武汉大学学报(信息科学版)，2009，34(8):996－999.

［11］赵志全.基于正交Procrustes分析的绝对定向闭合解法［J］.勘察科学技术，2010，3:18－20.

［12］杜克群.Procrustes问题的若干研究［D］.杭州:浙江大学，2005.