二元一次不定方程的说课设计

2012-10-16李文

赤峰学院学报·自然科学版 2012年11期

关键词：整数所学方程

李文

（平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山 467000）

二元一次不定方程的说课设计

李文

（平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山 467000）

本文从教材分析、学情分析、教学方法、教学过程及设计意图等方面对“二元一次不定方程”的教学进行说课设计，并把启发式教学法、类比教学法和探究教学法融入到该节课的教学过程中；从而突出重点、突破难点，使学生更好地掌握该节内容，同时也为《初等数论》课程中其它内容的教与学提供参考.

说课；初等数论；二元一次不定方程

本文以闵嗣鹤、严士健编著的第三版《初等数论》第二章第1节“二元一次不定方程”为案例进行说课设计。下面我将从教材分析、学情分析、教学方法、教学程序四个方面进行简要阐述.

1 教材分析

本节课的内容是二元一次不定方程，它是整册教材中的重难点之一，这部分内容是第一章整除理论中有关知识的应用，是本章第二节学习多元一次不定方程的基础，同时也为第四章求解一次同余式提供了一种方法.

根据师范教育的培养目标和初等数论教学大纲要求,对本节课我制定了如下教学目标：

基础知识目标：⑴.掌握二元一次不定方程有整数的充要条件；⑵.理解并掌握在有解的情况下一切整数解的表达式；⑶.能熟练求二元一次不定方程的特解、正整数解和一切整数解。

能力训练目标：锻炼学生发现、分析和讨论问题的能力；培养学生勤于思考、善于归纳总结、把所学知识融会贯通的能力。

情感态度目标：让学生体会到数学中探索与发现的乐趣，激发学生的求知欲；让学生体验解决问题的过程，培养科学探究精神。

根据教材内容和教学目标我确定本节课的重点是二元一次不定方程有解的充要条件、一切解的表达式及求解方法。而难点是二元一次不定方程一切解的表达式及推导过程.

2 学情分析

学生在中学阶段已经接触到了二元一次不定方程；第一章又研究了整除、最大公因数、辗转相除法等理论知识，而二元一次不定方程一切整数解的结构与《高等代数》中非齐次线性方程组通解的结构，以及《常微分方程》中常系数非齐次线性微分方程通解的结构有着类似之处，因此，学生具有学习本节课的知识基础。大二的学生具有较强的抽象思维和逻辑思维能力，具备学习这节课的认知基础.

3 教学方法

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知情况，我采用启发式教学法、类比教学法和探究教学法相结合的教学方法.

4 教学程序

为了实现本节课的教学目标，在教学过程中注意突出重点，突破难点，我将从以下六个环节来进行教学，具体过程如下：

4.1 创设情境——提出问题

在这一环节，首先介绍中国古代数学中著名的“百鸡问题”。该问题学生在中学时就已经有所了解。学生通过分析，设出未知数x,y,z，可得不定方程组，进而消去未知数z，得到7x+4y=100.让学生回顾中学所学解法。由此引出二元一次不定方程的一般形式

其中 a，b，c是整数，b≠0.

在引出新概念后，向学生提问：不定方程(1)一定存在整数解吗？给出两个简单例子（如：2x+3y=5，2x+4y=1），学生通过观察，可知答案是不一定的。在此基础上，向学生提出本节课所要解决的两个核心问题：

问题一：不定方程(1)在什么情况下，有整数解?

问题二：如果不定方程(1)有解，如何求出其一切整数解？

下面的环节将围绕这两个问题展开.

4.2 启发探究——突出重点

这一环节中主要解决“二元一次不定方程有解的充要条件”这一问题.

首先，和学生一起观察、分析二元一次不定方程的一般形式，引导学生利用第一章中整除和最大公因数的性质探究ax+by=c有解的必要条件，然后，让学生讨论该必要条件是否为ax+by=c有解的充要条件，并引导学生加以验证。进而，引入定理2，该定理证明过程的板书，在学生主动分析问题时，同步完成。至此问题一得到解决.

这一环节的设计意图是：在讲解定理2时，我采用了引导学生利用所学知识先寻求有解的必要条件，然后验证其充分性的做法。与直接展示结论再证明的做法相比，这样做可以充分调动学生学习的积极性，更有助于培养学生自主探究问题的能力。让学生体会到数学中探索与发现的乐趣，培养科学探究精神.

4.3 类比归纳——突破难点

通过例子使学生明白：如果二元一次不定方程有解的话，那么一定有无穷多个解。如何求出它的一切整数解呢？进而，让学生回顾《高等代数》中非齐次线性方程组通解的结构，以及《常微分方程》中常系数非齐次线性微分方程的通解的结构。引导学生用类比的方法猜测，二元一次不定方程在有解的情况下一切解的结构——ax+by=0的通解+原方程的一个特解。进一步，启发学生利用整除的性质，探究ax+by=0的通解.最后归纳总结二元一次不定方程一切解的表达式.组织学生分析讨论，寻找证明思路，同时板书证明过程.为了让学生加深对定理2的理解，给出一个简单的二元一次不定方程（如：6x+4y=10），让学生写出该不定方程一切解的表达式.

这一环节的设计意图是：通过类比教学法能激发学生把相关内容结合起来比较学习，使学生掌握从已知到未知探求解决问题的方法。这样做能加深学生对所学知识的理解，使学生从知识和能力两个方面得到同步提升.

定理1内容说明：如果知道二元一次不定方程的一个特解的话，就可以写出该方程一切解的表达式。如果已知二元一次不定方程有解，那么怎样去求出该方程的一个特解呢？由此，进入下一环节.

4.4 化归讨论——解决问题

引导学生由定理2充分性的证明过程发现，在有解的情况下，要求ax+by=c的特解，可转化为求ax+by=(a,b)的特解.进一步，引导学生通过观察发现ax+by=d 与 a1x+b1y=1（其中(a,b)=d,a=a1d=b1d）同解.最后，组织学生利用第一章所学的辗转相除法及其性质，分析归纳出求形如不定方程a1x+b1y=1,(a1,b1)=1的特解的方法.至此，第一个环节中所提出的两个问题全部得以了解决.

这一环节的设计意图是：利用化归思想把要解决的新问题，通过观察、分析、联想等思维过程，选择恰当的方法进行转化、归结为熟悉的问题加以解决。这样做可以使学生体验解决问题的乐趣，激发学生的求知欲.