徐 炜，徐 敏，杨振宇

(河海大学力学与材料学院，江苏南京 210098)

许多材料的弹性模量与振动频率等因素有关，而动力计算中弹性模量往往被假定为常数，因此动力试验与计算的结果存在一定的差异[1].材料的动弹性模量是结构设计的一个重要参数，在水工结构动力设计中，一般比静弹性模量增加20%[2].一些材料如石膏、加重乳胶等被用于水工结构动力模型试验，这些材料的动弹性模量随着频率的变化而改变[3]，而动弹性模量的变化必将影响结构的响应.为了模拟这种受力状态，也为了便于在振动台上进行试验，试件一般采用悬臂梁结构[4].国外学者已通过各种试验方法[5-8]获得材料的动弹性模量，如声发射、测固有频率等，但传感器会引起试件局部附加质量和力学特性的改变.Caracciolo等[9]用单点激光测振仪测得悬臂梁的固有频率，从而获得材料的动弹性模量，解决了这一问题.笔者使用多点激光扫描测振仪测得结构的固有频率以及振型，通过振型来校核结构的固有频率，排除侧向振动固有频率和交流电信号的干扰，使测试结果更加可靠.

1 用反演方法计算材料动弹性模量的基本理论

利用有限元模态分析和试验模态分析的结果，根据反演的方法[10]可以求得材料在各阶固有频率下的动弹性模量.

由于小阻尼对大多数工程结构自振频率影响很小，计算时可以将石膏悬臂梁的振动当做无阻尼振动.根据有限元方法，无阻尼自由振动的方程为

式中:K——刚度矩阵;ω——固有频率;M——质量矩阵.

一旦有限元网格划分确定，K只与弹性模量E和泊松比μ有关.如果 μ是常量，K可以写成

式中K′是E=1时的劲度矩阵.

同样，M 可以写成

式中:ρ——材料密度;M′——ρ=1时的质量矩阵.

将式(2)、式(3)代入式(1)，式(1)可以写成

对于相同结构、相同边界条件、密度不变的同一种材料，材料的静弹性模量和动弹性模量之间的关系可以写成

式中:ωi，ω0i——试验模态分析和有限元模态分析得到的第 i阶固有频率;Ei，E0i——在 i阶固有频率下的动弹性模量和静弹性模量.

2 有限元模态分析

用商用软件ANSYS对石膏悬臂梁进行模态分析.梁的尺寸为50mm×50mm×500mm.根据相关规范[11]进行抗弯试验，得到将用于拱坝动力模型试验的石膏密度为900kg/m3，泊松比为0.25，静弹性模量为2400MPa.试验数据如表1所示，各试件破坏荷载平均值为2 303N，弹性模量平均值为2 400MPa.石膏悬臂梁的有限元模型如图1所示.为了测定石膏悬臂梁在200Hz以下的动弹性模量，有关文献通过试验证明了石膏的动弹性模量在石膏悬臂梁第一阶固有频率之后的变化在5%以内[12]，所以，本文只测定石膏悬臂梁第一阶固有频率.石膏悬臂梁的第一阶振型如图2所示，第一阶固有频率为52.7Hz.

图1 石膏悬臂梁有限元模型Fig.1 FEM model of plaster cantilever beam

表1 石膏的静弹性模量Table 1 Static elastic modulus of plaster

图2 悬臂梁第一阶振型Fig.2 First-order modal shape of cantilever beam

3 试验模态分析

3.1 试验装置

石膏悬臂梁试验模态分析的试验装置如图3所示.

3.2 第一阶固有频率

通过5-100H基础正弦扫频激励，得到石膏悬臂梁第一阶固有频率.为了排除侧向振动固有频率和交流电信号的干扰，还需用振型和自由衰减周期进行校核.试验结果如4所示.经分析，第一阶固有频率为59.0Hz.

图3 石膏悬臂梁试验装置示意图Fig.3 Schematic diagram of experiment setup of plaster cantilever beam

图4 石膏悬臂梁的第一阶固有频率Fig.4 First-order natural frequency of plaster cantilever beam

3.3 第一阶振型

在第一阶固有频率下进行基础正弦激励，加速度为0.3m/s2.用测试激光信号发射器从梁的顶部到底部进行扫描，得到梁的第一阶振型，如图5中曲线所示.排除侧向振动固有频率和交流电信号的干扰，对第一阶横向振动固有频率进行校核.结果表明，试验所得第一阶振型与有限元计算的一致.

3.4 阻尼比

通过敲击锤敲击悬臂梁得到石膏悬臂梁顶部测试点速度的自由衰减曲线，如图6所示.取10个周期，根据式(7)得到阻尼比为4.4×10-3，验证了之前小阻尼振动的假设.

将自由衰减曲线进行FFT(快速傅里叶变换)，得到速度在频域内的变化，如图7所示，其峰值对应频率为59.1Hz.自由衰减的频率为59.1Hz，与之前得到的第一阶固有频率一致.

图5 石膏悬臂梁第一阶振型Fig.5 First-order modal shape of plaster cantilever beam

图6 测试点速度自由衰减曲线Fig.6 Free vibration attenuation curve of velocity at test point

4 结 语

通过数值方法(有限单元法)和试验模态分析方法分别得到石膏悬臂梁的第一阶固有频率和振型.根据有限元模态分析和试验模态分析的结果，用反演的方法得到石膏在第一阶固有频率下的动弹性模量(3020MPa)，为拱坝动力模型试验提供了动弹性模量参数.试验结果表明:石膏在第一阶固有频率下的动弹性模量与静弹性模量相比，提高了约25.8%.

图7 测试点速度在频域内的响应Fig.7 Frequence response to velocity at test point

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