李晓丹，罗成广

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

在19世纪，几何学领域内发生了重大变革，诞生了非欧几何，它动摇了“只能有一种可能的几何”这个几千年来根深蒂固的信念，使得数学有了更大的自由。此后不久，代数学领域内也发生了类似的变革，创立了几种代数体系，它们与非欧几何一样，用了一些与传统理论相矛盾的假定，这其中首推哈密尔顿的四元数代数。

1 哈密尔顿与四元数的发现

哈密尔顿（W.R.Hamilton，1805～1865）出生于爱尔兰，父亲是位律师兼商人，母亲是位很有才干的名门闺秀。哈密尔顿从小天资超人，14岁时就已学会了12种语言。在15岁时，因同一位美国快速心算家的一次接触，激发了他钻研数学的巨大兴趣。上大学之前没入过学校学习，全靠家庭传授和自学。年仅16岁的他不仅能读懂拉普拉斯的《天体力学》，还发现了其中关于力的平行四边形法则的证明中的错误，初次显露了他的数学才华，他从此爱上了数学。他在大学读书期间是一位出色的学生，曾囊括了学院的各种奖项，尤以数学和古典文学成绩出色。他在大学的经历更是独一无二的，因为年仅22岁尚未大学毕业的他因论文《光学系统的理论》被破格聘为三一学院天文学教授兼该校天文台台长。32岁时，他便成为了爱尔兰皇家科学院院长。

在19世纪早期，认为存在与一般算术代数不同的代数，如同寻找与欧氏几何不同的几何一样，是不可思议的。假如有人要构造一种乘法交换律不成立的代数，不仅那时候没有人会这么想，就是有人这么想，也会被认为是纯属邪说，怎么可能会有a×b≠b×a的逻辑代数呢？……