刘心驰

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

半群代数理论是代数学的一个分支.自半群的系统研究至今，半群及其子类的研究一直是半群理论研究中的一个热点.它的研究受到越来越多人的关注.半群代数理论十分丰富，它的思想和方法已经渗透到自然学科的许多领域，有许多文献专门研究半群的性质和结构，得到了许多重要结果［1－3］.本文给出一类半群的性质和结构，结合学习研究内容，也给出了此类半群的一个实例.

1 预备知识

设S是非空集合，在S上定义二元运算“·”，如果∀a，b，c∈S，(a·b)·c=a·(b·c)，则称(S，·)为半群.例如，全体正整数的集合N连同普通的整数加法运算作成一个半群(N，+).

设(S1，·)与(S2，⊗)都是半群，φ 是 S1到 S2的一个映射，如果 ∀a，b，c∈ S，φ(a·b)= φ(a) ⊗φ(b)，则称φ是S1到S2的一个同态映射，若φ还是一一映射，则称φ是S1到S2的一个同构映射，这是称半群(S1，·)与(S2，⊗)是同构的.

在半群(S，·)中，我们可以简单地记为S，而省略运算符号“·”，并且在运算式中用ab表示a·b，这样an就表示n个a连续作半群运算“·”的结果，读作a的n次幂，显然，在一个半群中，aman=am+n，(am)n=amn.

设S是半群，T是半群的非空子集，如果对于∀a，b∈T，有ab∈T，则称T是S的子半群.

设A是S的一个非空子集，S中所有包含A的子半群的交集记为〈A〉，则〈A〉是S的子半群［1］，显然〈A〉有下列性质：

(1)A⊆〈A〉，

(2)若S1是S中包含A的子半群，则〈A〉⊆S1.

我们称〈A〉是S的由A生成的子半群.若S=〈A〉，则称半群S是由A生成的，特别地，当A={a}时，记为S=〈a〉，S是由元素a生成的，称S为单演半群.

2 主要结果

定理1 设S=〈a〉，如果 ∀m，n∈N，a∈S，am=an⇒m=n，则S=〈a〉同构于半群(N，+).

证明 由于 ∀m，n∈N，am=an⇒m=n，

显然φ是S到N的一一映射，并且aman=am+n→m+n，即φ(aman)=m+n=φ(am)+φ(an)，所以φ是S到N的同构映射，因此S=〈a〉与半群(N，+)同……