孙合明，李庆芳，杨家稳

(1.河海大学理学院，南京 210098;2.滁州职业技术学院，江苏滁州 239000)

首先介绍本文中的一些符号。Rm×n表示m×n阶矩阵的集合。I表示单位矩阵。AT表示矩阵A的转置矩阵。对于矩阵A，B∈Rm×n，A⊗B表示A与B的Kronecker积，〈A，B〉=trace(BTA)定义为它们的内。‖A‖表示矩阵A的Frobenius范数，即‖A‖2=〈A，A〉。vec(·)是矩阵A=(aij) ∈Rm×n的拉伸算子，定义为

矩阵P若满足PT=P和P2=I，则称P是反射矩阵。对反射矩阵P∈Rm×m和Q∈Rn×n，若有A=PAQ，则称矩阵A∈Rm×n是关于(P，Q)的广义自反矩阵，并把所有 m×n阶(P，Q)广义自反矩阵的全体表示为(P，Q)。

本文主要考虑如下问题:

问题 1 对于给定的实矩阵 A，C∈Rs×m，B，D∈Rn×t，E∈Rs×t，求 X∈(P，Q)，使得

问题2 设问题1的解集合为SE，对于给定(P，Q)，求，使得

矩阵方程在控制和通信理论有着重要作用，在计算数学方面也是一个非常活跃的研究专题。问题2来源于常见的实验设计，这里矩阵X*可由实验获得，它可能不是矩阵方程AXB+CXD=E的解。

文献［1－2］提出了几种解决矩阵方程AX+XB=C的方法。文献［3］给出了矩阵方程AXAT+BXBT=C的对称解。在矩阵方程ATXB+BTXTA=D相容的情况下，文献［4］给出了它的极小范数解。在矩阵方程ATXB+BTXTA=D不相容的情况下，文献［5］给出了求解给定矩阵最佳逼近解的一种算法，文献［6－7］分别给出了其最小二乘解和极小范数最小二乘解。文献［8］给出了求解矩阵方程AXB+CXTD=E极小范数最小二乘解的迭代方法。文献［9］给出了矩阵方程AXB+CXD=F相容情况下的中心对称最佳逼进解。关于反射矩阵P的自反(反自反)矩阵在系统和控制理论、工程、科学计算等多个领域都有广泛的应用［10－11］。目前，已有越来越多的学者致力于研究矩阵方程的自反(反自反)最佳逼近解［12－13］，但是还没有文献涉及求解矩阵方程AXB+CXD=E的自反(反自反)最佳逼近解。……