张子珍，林 海

（山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009）

一维非齐次波动方程的求解方法

张子珍，林 海

（山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009）

非齐次偏微分方程是数学物理方程教学中的难点，本文以一维非齐次波动方程为例，提出各种不同的解法，以便对教学起到促进作用。

偏微分方程；分离变量法；冲量法；拉普拉斯变换法；付立叶变换法；格林函数法

在偏微分方程的教学中，非齐次方程的求解是教学中的难点，尤其是边界条件不同，如混合问题或哥西问题［1］处理方法则灵活多样，这给学生造成一定的困难。为此，本文对一维非齐次方程的求解方法进行归类，以便对该问题有一个总体的认识。

1 混合问题的求解

混合问题，是指既有初始条件又有边界条件。现以非齐次波动方程为例，来讨论混合问题的求解方法。假设边界条件是齐次的，因为如果边界条件是非齐次的，可以先将边界条件齐次化后，再进行求解。

1.1 分离变量法

分离变量法的基本思想是，令u（x，t）＝X（x）T（x），将一个偏微分方程化为两个常微分方程，其中的一个常微分方程可以构成本征值问题，从而求出本征值和本征函数，然后代入另一个常微分方程去求解。以下面的方程为例加以说明。

同时将f（x，t）按本征函数展开，代入方程中得：

代入初始条件，可求得系数，

1.2 冲量法［2］

应用冲量法的前提是初始条件均取零值。仍以两端固定的弦振动为例，利用线性方程的叠加原理，方程（1）可分解为