张海涛

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

二次曲面方程的化简

张海涛

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

二次曲面的化简是解析几何中的重点内容，介绍了几种化简二次曲面方程的方法，并通过具体实例作出说明，最后比较各种方法的优缺点。

二次曲面；化简；标准

在解析几何中，二次曲面方程的形式比较复杂，这给我们解决问题带来了很大的不便，这时候就需要将方程先进行化简。许多学者对此进行了研究［1-7］。在文献［3］中，利用矩阵运算，结合向量的数量积和外积对二次曲面进行化简；在文献［5］中，利用主径面建立新的坐标平面进行化简。根据不同的条件给出了4种二次曲面方程化简的方法：配方法、坐标轴旋转变换、主径面、不变量，并总结了各种方法的优缺点。

定理1 适当选取坐标系，二次曲面方程总可化为下列五个简化方程中的一个：

（I）a11x2＋a22y2＋a33z2＋a0＝0，a11a22a33≠0；

（II）a11x2＋a22y2＋a3z＝0，a11a22a33≠0；

（III）a11x2＋a22y2＋a0＝0，a11a22≠0；

（IV）a11x2＋a2y＝0，a11a22≠0；

（V）a11x2＋a0＝0，a11≠0。

1 利用配方法化简

如果方程中含有x（y，z）的平方项，则先把含有x（y，z）的各项集中，按x（y，z）配成完全平方，然后按照此法对其它变量配方，直至都配成平方项。

例1 化简方程：4xy-2zx-2yz＋3z2＝0。

解 4xy-2zx-2yz＋3z2＝

相应的线性变换由

求得

优点：该方法简单易懂，易掌握，计算量小；

缺点：简化出的标准形不唯一。

2 利用坐标轴旋转变换化简

定理2 任意二次曲面方程至多经过三次平面上的坐标轴旋转变换和一次空间坐标轴平移变换总能化为二次曲面的标准方程。

例2 化简方程

解 因为a12≠0，则根据

则上式化为：

y′2＋2x′z′-9＝0，

作变换

则方程化简为：