王延忠，孙红梅，2

(1.北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 100191;2.西安航空动力股份有限公司，西安 710021)

相似实验方法对机床立柱动力学的研究*

王延忠1，孙红梅1，2

(1.北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 100191;2.西安航空动力股份有限公司，西安 710021)

以立式加工中心立柱动力学性能为研究对象，采用相似模型的实验方法，以立柱具有的物理现象为研究内容，推导立柱相似模型遵守的相似法则，确定相似模型研究的各物理量的相似比，完成相似模型的结构设计，进行原模型的模态性能预测，实验结果显示误差小于10%的有70%，误差小于5%的有50%。结果表明大型复杂设备在设计阶段采用相似模型设计方法是经济可行的。

相似模型;相似法则;相似比

0 引言

相似模型是将某种物理现象的长度、时间、力、速度等缩小或扩大来进行实验的装置，在用相似模型进行的实验，必须能够再现原来的现象的本质［1］。例如航空航天使用的风洞试验台，它可以模拟高空中飞行器的工况，检测飞行器的各项性能。结构模型是按缩尺(和足尺结构相比较)建成的任何结构构件或其组合体，且在整理分析模型试验结果时，必须使用相似定律［2］。在以往的相似模型设计中，一般将设计对象作为一个整体处理，通过对相似模型的动力学实验，验证立柱的有限元分析结果。

1 机床立柱动力学的物理法则及相似代表值表达式

(1)牛顿惯性力:

(2)虎克弹性力:

(3)材料的内部摩擦定律:

以上公式显示，系统研究的物理量有力、质量、加速度、密度，长度、时间、弹性模量、应变、阻尼和应变。这些物理量也是相似设计研究的对象。

2 立柱相似模型设计

2.1 机床立柱的相似分析及相似物理量

动力学特性研究是针对机床立柱的模态、动态进行研究。在相似模型设计过程中，所遵守的物理法则有牛顿惯性力、虎克弹性力、材料的内部摩擦定律。针对遵守的物理法则，可以确定相似模型设计需要的物理量。表1给出了各物理量在相似模型设计的量纲表示法。

表1 相似物理量明细表

2.2 用量纲分析法推导立柱的相似准则

相似模型的设计方法有物理法则法和量纲法两种。物理法则法指的是通过研究对象遵守的物理法则，经过公式推导得到相似法则。而量纲法则是确定了与研究对象有关的物理量，根据量纲法的计算过程得到相似法则，不考虑研究对象所遵守的物理法则。也可以将两种方法结合使用［3］。下面的相似法则的推导采用量纲法。

2.2.1 立柱模型相似准则的推导

机床立柱的模态相似设计的物理量有:时间t，力F，长度l，固有频率f，材料的弹性模量E，材料密度 ρ，刚度 k。

物理参数数量n=8，基本量纲数k=3，则独立π数的数量为8-3=5，可知系统的相似准则有5个。由第二相似定理，可将上式改写为:

设相似准数的一般形式为:

系统的量纲矩阵如表2所示。

表2 物理参数量纲矩阵

因为只有3个方程，所以方程必须有5个已知量，假设 α1、α2、α3、α4、α8为方程中任意假定的已知量，则 α5、α6、α7分别表示为:

将式(7)(8)(9)代入(3)式，整理得到:

由式(10)得到π函数矩阵，如表3所示。

表3 π函数矩阵

由π矩阵确定5个相似准数:

模型设计阶段相似条件:

下标m表示模型，p表示原型，β表示模型与原型的相似比。将式(12)代入(11)得到相似模型与原型应满足的相似条件:

令πi=1，得到:

整理上述计算结果，得到模态相似准则，结果如表4。

表4 相似模型遵守的相似准则

2.2.2 相似比的确定

相似模型设计共使用的物理量有14个。在相似比的确定过程中，需要先给出一些独立变量的相似比，再根据相似法则得出其余各量的相似比。由于模型的制造材料与原型机不同，所以材料的弹性模量相似比为铝材与铸铁的弹性模量之比14/31。根据机床的外形尺寸选择长度相似比为1/7。根据相似法则推导其余各物理量的相似比如表5。

表5 立柱的物理量相似比

2.2.3 相似条件的放宽

因为试验自然环境与原型机工作环境都在重力作用下，所以选择重力加速度与加速度值相等，相似比为1。模型材料为铝，原型材料为铸铁，因此材料弹性模量相似比是定值，首先给出长度的相似比值，其余相似比值根据相似准则推导得到。因为σ=E·ε，ε本身就是一个无量纲数，一般取相似比ε=1，所以σ=E。

3 相似模型模态实验

对固有频率分析的实验力学方法有很多，例如属于光测力学范畴内的常见方法有激光全息干涉法，电子散斑计量法和数字散斑相关法，属于信号处理技术的有模态测试分析法以及电测法等［4-7］。立柱相似模型实验使用的测试设备及软件为北京东方振动和噪声研究所开发的DASP-V10机械结构模态测试仪。相似模型结构如图1所示。

图1 相似模型实体

采用单点激励多点相应的数据采集方法，测得模型的前10阶固有频率如表6所示。

表6 试验的模态频率和阻尼

4 相似模型的有限元分析

当布置网格种子密度为10mm，单元类型为10结点修正二次四面体单元(C3D10M)［8］，定义模型材料为铝，底面采用完全约束形式。划分网格后提交作业，提取模型前10阶固有频率和振型。结果如表7。

表7 模型前10阶固有频率值

5 立柱有限元分析

采用三维绘图软件Proe建立立柱的三维模型，对模型进行简化处理后导入有限元分析软件ABAQUS，立柱底面为完全约束，立柱材料为铸铁，底面采用完全约束形式。划分网格后提交作业，提取立柱前10阶固有频率和振型。由于篇幅原因，本文给出前2阶振型图。图2为立柱的简化模型，分析结果如表8及图3、4。

图2 立柱的简化模型

表8 前10阶模态频率

图3 立柱第一阶振型

图4 立柱第二阶振型

6 结果

虚拟系统和实际系统相似精确度研究主要集中在两个方向。一个是以综合评价理论为指导，通过建立评价函数，然后将指标的样本数据处理后代入评价函数来对虚拟样机进行评价［9］;另一个是以相似理论为指导，通过计算虚拟样机和物理样机的相似程度来进行评价［10］。本文采用后一种评价方法。

实验数据分析:首先将相似模型的实验数据与有限元仿真数据进行对比，通过有限元计算数据与实验数据的差除以实验数据，说明有限元分析数据的可信度，数据见表9中的相似模型有限元分析误差栏所示。同时将根据相似比得到的立柱前10阶模态频率与立柱的有限元分析数据进行误差计算，说明相似实验方法的可信度，数据见表9中的相似模型实验误差栏所示。

表9 相似模型模态频率与有限元分析数据的误差

7 结论

有限元计算结果与实际测量数据的误差小于10%的占到70%，这可以说明有限元软件的计算结果是可靠的，采用相似模型进行原模型的性能预测，误差小于10%的有70%，误差小于5%的有50%，这样的实验结果作为工程预测完全是可行的。

［1］［日］江守一郎.模型实验的理论和应用［M］.北京:科学出版社，1984.

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Dynamic Performance of the Column of the Machine Tool With Similar Experimental Method

SUN Hong-mei1，2，WANG Yan-zhong1
(1.Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China;2.XI’AN AERO-ENGINE(GROUP)LTD，Xi’an 710021，China)

In the design stage，to adopt a similar model experiment to predict dynamic properties of column of the machining.according to physical phenomenon of column，derive similar rules that fitted to the column then caculated the Similar ratio of the model.Finally we complete the structural design of similar models.to prediction properties of the original model with the modal，it is about 70%test result that experimental error is less than 10%，about 50%test result that the experimental error is less than 5%.Which illustrates the similarity model design in large and complex equipment is economic and feasible.

simular model;similar rules;similar ratio

TH12

A

1001-2265(2012)11-0035-04

2012-02-28;

2012-03-17

“高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项(2009ZX04001)

王延忠(1963—)男，北京航空大学博士生导师，主要研究方向为数控加工仿真优化与虚拟加工、现代数控装备动态分析与优化设计、机械传动技术，(E-mail)yzwang63@126.com。

(编辑 赵蓉)