王 波，高岳林

(北方民族大学信息与系统科学研究所，宁夏银川 750021)

风险度量有多种方法，1952年由MARKOWITZ提出的收益率方差评价指标对后来的研究产生了深远的影响［1-2］。

风险价值VaR反映一项资产或资产组合在一定的持有期内、给定的置信水平下潜在的最大损失。关于对 VaR 的改进，ROCKAFELLAR［3］等提出了条件风险价值CVaR的优化投资组合模型，并得出CVaR最优化投资组合与VaR最优化投资组合近似一致的结论。CVaR作为一致性的风险度量，已成为金融风险度量的有力工具。

近年来，国内在关于风险价值度量方面的研究相对较热。刘小茂等研究了均值-CVaR有效前沿［4］;何洁琳等研究了一致性风险度量意义下的投资组合［5］，并给出了相关的实证;高岳琳等研究了基于CVaR约束的单位风险收益最大投资组合模型［6］;周世昊等利用改进的粒子群算法求解CVaR投资组合优化模型［7］，并给出了相应的实证分析;苏克平等基于CWAA算子，提出了CVaR度量下的组合投资模型，并给出了案例分析［8］。

1 条件风险价值CVaR简述

设f(x，y)是在决策向量x下的损失函数，其中，向量x可以看成是组合中各资产的头寸或者权重，x∈X⊆Rn，X为可行集。向量y为影响损失的市场因子，如市场价格或收益率。对每一个x，由y引起的损失f(x，y)是R上服从某一分布的随机变量。为方便起见，假设y的概率密度函数为p(y)，则损失f(x，y)不超过某一阈值β的概率为:

作为在x固定时β的函数，ψ(x，β)是与x对应的损失的累积分布函数，关于β非减右连续，与给定置信水平α下的损失对应的α-VaR与α-CVaR值分别为:

2 CVaR计算公式及相关定理证明

记rx=xTy为投资组合的收益，f(x，y)=-xTy为投资组合的损失。设E(y)=μ，Cov(y)=V，则可得到收益的均值和方差分别为:

考虑风险资产的收益率服从正态分布的情况，假设市场因子 y～N(μ，V)，则损失 f(x，y)=-xTμ ～N(-xTμ，xTVx)，由 VaR、CVaR 的定义，在置信水平α下，VaR和CVaR的具体计算公式为:

引理:设y是一服从联合正态分布的随机变量，则对每一个投资决策变量x，x∈X，xTy服从正态分布。如果α≥0.5，则存在同一优化组合x，使得投资组合的方差σ2(x)、风险价值VaRα(x)和条件风险价值CVaRα(x)同时达到极小。

定理:设 α1＞ α2＞ α3≥0.5，对投资决策变量x，x∈X，有xTy服从正态分布，则存在同一优化组合 x，使得 VaRα1(x) ＞ VaRα2(x) ＞ VaRα3(x)，CVaRα1(x) ＞ CVaRα2(x) ＞ CVaRα3(x)。

证明:因为 α1＞ α2＞ α3≥0.5，则 c1(α1) ＞c2(α2)＞c3(α3)，由引理和式(1)可知，最小化不同置信水平 α1，α2，α3下的 VaRα等价于最小化ci(αi)σ(x)- μ(x)，其中 i=1，2，3，又因为c1(α1) ＞c2(α2) ＞ c3(α3)，因此，VaRα1(x) ＞VaRα2(x) ＞ VaRα3(x)。由于 CVaRα(x)是超过VaRα(x)的条件期望，因而有CVaRα1(x) ＞CVaRα2(x) ＞CVaRα3(x)。

3 投资组合优化模型建立

3.1 约束条件

收益率约束可以表述为:期望收益E(rx)=xTμ≥s，其中s为投资者的期望收益阈值。收益约束可以将投资的收益控制在阈值s以上，在预先满足投资者投资预期收益的情况下，计算目标函数风险值的大小。投资比例约束为:x1+x2+… +xn+1=1。不允许卖空约束为 xi≥0，i=1，2，…，n+1。其中，xi(i=1，2，…，n)为对第 i个资产的投资比例，xn+1为无风险资产的投资比例。

3.2 基于CVaR度量的投资组合优化模型

由以上分析，考虑条件风险度量下的投资组合优化模型为:

4 模型求解

4.1 差分进化算法

差分进化(differential evolution，DE)算法［9］是STON和PRICE为求解切比雪夫多项式而于1995年共同提出的一种浮点矢量编码在连续空间进行随机搜索的优化算法。DE的原理简单，受控参数少，易于理解和实现。

4.1.1 变异操作

其中，F∈［0，2］为缩放因子。

4.1.2 交叉操作

其中，rand(0，1)为(0，1)间均匀分布的随机数。

4.1.3 选择操作

其中，φ(x)代表适应度函数。

4.2 模型求解

首先利用罚函数方法［10］将式(3)转化为无约束优化问题，然后利用差分进化算法进行求解，算法参数为:种群规模N=80，迭代代数gen=500，缩放因子F=0.5，变异概率CR=0.6，惩罚因子sigma=106，算法的具体步骤如下:

(3)对种群中的每个个体执行以下操作:①随机选取权重矩阵中的3个权重进行变异交叉操作，产生一个新的试验权重trial，如果试验个体trial某一维的值不在区间(0，1)内，将其赋值为rand(0，1)。②根据目标函数F(x)计算trial的适应值F(trial)，进行选择操作，进行最优值的更新，产生下一代权重。③找出当前代的最优适应值F(gbest)和最优权重gbest。

(4)若满足终止条件(达到最大迭代代数)，输出最优适应值F(gbest)和最优投资权重gbest，否则返回到步骤(3)继续搜索。

5 实证分析

5.1 资产选取及数据预处理

为了分散风险，挑选不同行业、不同流通盘的股票进行投资，选取了沪深股票市场8支股票2009年3月20日至2009年7月31日20周的收盘价作为计算数据。同时考虑了一种无风险的银行存款，银行利率选取中国人民银行现行活期存款利率0.36%，5天为一个交易周，则周活期存款利率可近似为6.9231×10-5。8支股票分别为:长春高新(000661)、新大陆(000997)、飞亚达 A(000026)、S上石化 (600688)、东方电气(600875)、双钱股份(600623)、民生银行(600016)和长春经开(600215)。用表达式 ri，t=ln(pi，t/pi，t-1) 计算股票的周收益率，其中 pi，t和pi，t-1分别为第 i(i=1，2，…，8)支股票 t和 t-1 时刻的周收盘价，可得到8支股票的期望周收益率如表1所示。

5.2 实验结果分析

(1)数值试验中，首先将周收益率阈值设定为s=0.02，在不同的置信水平下，各个资产的投资比例和CVaR条件风险价值如表2所示。随着置信水平的增加，CVaR值也增加，因此，对于保守的投资者而言，应选择较大的置信度，避免因低估投资风险而带来的损失。

表1 股票期望收益

表2 s=0.02时不同置信水平下的风险与投资比例

(2)由表2可知，不同置信水平下的投资比例基本一致，这符合前文定理的证明。从图1可知，在 alpha=0.90，alpha=0.95，alpha=0.99 水平下，算法在运行200次之后最优值不再变化趋于平稳。结合所得的投资比例和图1，验证理论证明的同时，也说明差分进化算法对求解式(3)是稳定的，结果可供参考。

(3)由表3可知，在alpha=0.95水平下，收益率阈值s从0.022增大到0.030时，得到对应的CVaR值和个股对应的投资比例，随着阈值s的不断增大，投资在期望周收益率较高的股票(600016)上的比例不断增加，投资在期望周收益率较低的股票上的比例趋近于0。投资的股票收益越大，相应的风险也在增加。这表明，投资过程中，在选择较高收益股票的同时，投资者应进行分散投资，避免因投资集中而导致投资风险过高。

图1 不同置信水平下算法求解性能示意图

(4)表4给出了alpha=0.90、alpha=0.95和alpha=0.99水平下，收益率阈值s从0.022增加到0.030时，对应的CVaR风险值。根据表4数据绘制出收益风险的有效边缘如图2所示，置信水平越低，投资组合有效前沿越靠近图形的左上方，这是因为置信水平越高，投资者厌恶风险的程度越高，在相同的期望收益下，置信水平较低对应的风险也相应较小，这也符合理论研究结果，结合图表，投资者可以根据自身的风险偏好，选择适合自己的投资决策。

表3 alpha=0.95时不同收益阈值下的风险与投资比例

表4 不同置信水平、收益阈值下的CVaR风险值

图2 不同置信水平下的风险有效边缘

6 结论

条件风险价值CVaR是VaR的修正，它比VaR具有更好的性质。考虑我国证券市场不允许卖空的条件，用CVaR来度量投资组合的风险，建立以最小化风险为目标，期望净收益高于一定阈值的投资组合优化模型。针对该模型，利用罚函数处理约束收益，运用差分进化进行求解，并采用沪市和深市的8支股票以及银行存款利率进行实证分析，计算出了不同收益阈值下的最优投资比例和对应的风险，为投资者提供了决策参考，结果表明了模型的合理性和算法的有效性。

［1］MARKOWITZ H M.Portfolio selection［J］.Journal of Finance，1952(7):77-91.

［2］PHILIPPE J.Value at risk:the new benchmark for controlling market risk［M］.Chicago:Irwn Prefessional，1996:15-87.

［3］ROCKAFELLAR R T，URYASEV S.Optimization of conditional value-at-risk［J］.The Journal of Risk，2000，2(3):21-24.

［4］刘小茂，李楚霖，王建华.风险资产组合的均值-CVaR有效前沿(I)［J］.管理工程学报，2003，17(1):29-32.

［5］何洁琳，文凤华，马超群.基于一致性风险价值的投资组合优化模型研究［J］.湖南大学学报，2005，32(2):125-128.

［6］高岳琳，陈东志，鲍卫军.基于CVaR约束的单位风险收益最大投资组合模型及实证［J］.统计与决策，2009(13):62-64.

［7］周世昊，倪衍森.求解CVaR投资组合优化问题之改 PSO 算法［J］.武汉理工大学学报，2010，32(1):179-182.

［8］苏克平，周礼刚，陈华发.基于CWAA算子的投资组合决策模型［J］.武汉理工大学学报:信息与管理工程版，2011，33(4):618-621.

［9］STON R，PRICE K.Differential evolution-a simple and efficient adaptive scheme for globle optimization over continuous spaces［J］.Journal of Global Optimization，1997，11(4):344-359.

［10］GAO Y L，WANG B，AN X H.Portfolio moldel based on CVaR under friction market［C］//2010 International Conference on E-Besiness and E-Government.Guangzhou，ICEE.［S.l.］:［s.n.］，2010:4260-4263.