王 波，高岳林

(北方民族大学信息与系统科学研究所，宁夏银川 750021)

风险度量有多种方法，1952年由MARKOWITZ提出的收益率方差评价指标对后来的研究产生了深远的影响［1-2］。

风险价值VaR反映一项资产或资产组合在一定的持有期内、给定的置信水平下潜在的最大损失。关于对 VaR 的改进，ROCKAFELLAR［3］等提出了条件风险价值CVaR的优化投资组合模型，并得出CVaR最优化投资组合与VaR最优化投资组合近似一致的结论。CVaR作为一致性的风险度量，已成为金融风险度量的有力工具。

近年来，国内在关于风险价值度量方面的研究相对较热。刘小茂等研究了均值-CVaR有效前沿［4］;何洁琳等研究了一致性风险度量意义下的投资组合［5］，并给出了相关的实证;高岳琳等研究了基于CVaR约束的单位风险收益最大投资组合模型［6］;周世昊等利用改进的粒子群算法求解CVaR投资组合优化模型［7］，并给出了相应的实证分析;苏克平等基于CWAA算子，提出了CVaR度量下的组合投资模型，并给出了案例分析［8］。

1 条件风险价值CVaR简述

设f(x，y)是在决策向量x下的损失函数，其中，向量x可以看成是组合中各资产的头寸或者权重，x∈X⊆Rn，X为可行集。向量y为影响损失的市场因子，如市场价格或收益率。对每一个x，由y引起的损失f(x，y)是R上服从某一分布的随机变量。为方便起见，假设y的概率密度函数为p(y)，则损失f(x，y)不超过某一阈值β的概率为:

作为在x固定时β的函数，ψ(x，β)是与x对应的损失的累积分布函数，关于β非减右连续，与给定置信水平α下的损失对应的α-VaR与α-CVaR值分别为: