尹妍妍 梁志强 刘进庆 辛志荣

（山东交通学院理学院，山东 济南 250023）

均匀带电细圆环电场的计算机模拟

尹妍妍 梁志强 刘进庆 辛志荣

（山东交通学院理学院，山东 济南 250023）

用Matlab程序对均匀带电细圆环在空间激发的电场进行了计算机模拟，可以输出带电圆环附近任意一点的电场强度及电势，做出了过环心与圆环垂直的平面内的等势线，以及三维空间的等势面，实现了电场的可视化，便于形象地理解带电圆环激发电场的空间分布.

均匀带电细圆环；计算机模拟；Matlab；等势面；可视化

1 引言

静电场的研究在大学物理教学中起着重要的作用，是研究电磁学的基础.均匀带电细圆环电场的研究就是一个非常典型的例子.近年来关于均匀带电细圆环电场的讨论很多；文献［1］在直角坐标系中导出电势和电场强度的级数解；文献［2］、［3］把电场强度表示为椭圆积分；文献［4］在柱坐标系中得到电场的级数解，但是这些方法计算比较冗长且结果多以数学表达式的形式给出，不利于工科学生理解电场的分布；文献［5］虽然采用了数值计算的方法计算椭圆积分并求出了圆环所在平面的电场强度和电势，但并不能全面地表示均匀带电细圆环在空间所产生的电场情况.本文利用Matlab程序用计算机模拟的方法对均匀带电细圆环在空间激发的电场进行了描述，可以输出带电圆环附近任意一点的电场强度及电势，并做出了过环心与圆环垂直的平面内的等势线，以及三维空间的等势面，实现了电场的可视化，为形象地理解静电场的空间分布提供了帮助.

2 环形带电体模型

有一半径为a的细圆环，均匀带电，带电量为q，在大学物理课程教材中一般让学生计算过环心O与环垂直的轴线上的电场强度与电势［6］.本文则以Matlab程序为基础对圆环在其附近所激发的电场进行了研究.

3 Matlab模拟计算带电体激发电场的电势和电场强度

建立如图1所示的坐标系，圆环在xOz平面内，在B点处的电荷元dL所带电量为dq，到达A点的距离为R，在空间A点产生的电势为

图 1

计算出空间任一点的电势后根据电场强度与电势的关系E＝－ΔV，可以得到空间任意点的电场强度.为了便于计算，我们不妨令圆环带电量q＝4πε0，圆环半径a＝1，在可以基本体现电场分布的前提下我们只计算x⊆（－2，2），y⊆（－2，2），z⊆（－2，2）范围内的电场分布情况.计算过程中我们把圆环均匀地分为40份，每份对应的圆心角为，先计算出每份在数据网格点上产生的电势dV，然后用数值积分的指令（trapz）计算出整个圆环在数据网格点上产生的电势.再用Matlab求梯度的指令（gradient）求出E＝－ΔV，近而得到了x⊆（－2，2），y⊆（－2，2），z⊆（－2，2）范围内数据网格点上的电势及电场强度（见附录程序一）.

4 实现电场的可视化

为了更加形象地描述带电细圆环在空间激发的电场我们还可以用图像把电场表示出来.

4.1 过环心与环垂直的轴线上的电场

计算出x⊆（－2，2），y⊆（－2，2），z⊆（－2，2）范围内数据网格点上的电场强度和电势后，我们可以取出过环心与环所在平面垂直的轴线（即Oy轴）上点的电场强度和电势的值，把电场强度和电势随y轴变化的情况作出图像.在Oy轴上电场的解析式根据电场的对称性分析很容易得到，E＝，显然也可以根据这一解析式作出电场强度和电势随y轴变化的情况，我们把两种方法作出的图像相比较，如图2所示，图中实线表示的是理论数据，“＊”表示的是模拟计算得到的数据，通过图像可见契合得非常好.

4.2 过环心与环垂直的平面内电势的分布

利用Matlab程序计算出空间的电势分布后我们可以调用计算数据，根据这些数据应用Matlab中作二维场线的指令（contour）作出某一个平面内的等势线.本文以Oxy平面为例作出了该平面的等势线，如图3、图4所示（图3、图4是不同视角下Oxy平面的等势线）

通过图像可以看到在Oxy平面内等势线关于Ox轴和Oy轴都呈现出对称性，这与带电体关于Ox轴和Oy轴对称有关，因此可以推测出带电体的对称性决定了它所激发电场的对称性，为学生理解用高斯定理求解具有对称分布的带电体的电场打下基础.另外，Oxy平面是一个过环心与圆环垂直的平面，由圆环的对称性可知，所有过环心与圆环垂直的平面都具有相同的性质，如果我们知道了其中一个面等势线的分布情况，不难想象将该面的等势线沿与圆环垂直的轴（Oy轴）旋转360°即是该圆环在空间激发电场的等势面了，所以研究这样一个面的等势线对研究整个空间电场分布非常有意义.

4.3 三维空间的等势面

在计算得到空间各点电势值的前提下还可以应用Matlab做三维标量场的指令作出均匀带电细圆环在空间产生的等势面.本文中我们通过使用patch和isosurface语句来实现.为了更直观我们采用不同的颜色绘制与图3中Oxy平面中等势线对应的5个等势面如图5所示，为使图像更加形象直观将z轴上半轴的数据清零，得到带电圆环电场的三维等势面的截面图如图6所示.

4.4 显示空间任意点的电场强度和电势

根据Matlab数据储存的特点，我们可以用指令调用程序运行结果中的任意一个数据.因此，我们只需要输入空间某点的坐标即可在屏幕上显示出该点的电场强度和电势.但要注意如果输入的坐标不是数据网格上的点则就近取值进行计算！

运行程序（见附录程序二），并输入某点的坐标（注意：该点应该在数据网格点范围内）运行结果如下：

要求空间一点（0，1，0）的电场强度和电势，计算机模拟计算给出的是（0，1.04，0）点的电场强度和电势，结果为V＝0.69311，E＝5.6628e－009＊i＋0.34607＊j＋0＊k，电场强度的大小为E＝0.346 07，而 点 （0，1.04，0）处 理 论 值 为 V ＝0.6931，E＝0＊i＋0.3463＊j＋0＊k，电场强度的大小为E＝0.3463，两种计算方法有很小的误差，这是由于数值计算过程中步长的选取以及误差累积形成的.

5 结论

本文用计算机模拟的方法较详细地研究了均匀带电细圆环的电场分布情况，所得出的结论与解析计算进行了比较，在误差允许的范围内结果符合得很好.轴线上电场强度、电势分布图以及Oxy平面等势线、三维等势面进一步加深了学生对环形带电体在空间激发的电场的认识，对学生学习静电场有着积极的作用.

附计算程序

程序一：计算x⊆（－2，2），y⊆（－2，2），z⊆（－2，2）范围内电势及电场强度.

［1］ 程昌林，王慧，李业凤.均匀带电细圆环的电场［J］.大学物理，2003，22（6）：15～17

［2］ 周海英.均匀带电细圆环的电场的一般分布［J］.大学物理，2004，23（9）：32～34

［3］ 张之翔.圆环电荷的电势的几种算法及讨论［J］.大学物理，2006，25（8）：7～10

［4］ 刘诚杰.刘景世.均匀带电细圆环电场的分布［J］.大学物理，2005，（08）

［5］ 曹玉娟.数值积分求解均匀带电细圆环平面上的电场分布［J］.物理与工程，2005，15（15）：12～14

［6］ 马文蔚等.物理学（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2006

［7］ 彭芳麟.计算物理基础［M］.北京：高等教育出版社，2010

2012-01-17）

山东省教育科学“十二五”规划课题“分层次教学与大学生科学素质及创新能力培养的实践与研究”，课题编号：2011GG106.