☉浙江省上虞市上虞职教中心 陈 轶

导数是解决函数的单调性、极值、最值、切线等问题的有力工具，作为高中数学的新增内容之一，运用导数研究函数的恒成立、最值、方程、不等式的证明等问题是近几年高考的热点，也将是命题的新增长点.如果给定函数解析式次数高于二次、形式复杂时，常考虑用导数解决函数问题.

一、利用导数解决函数单调性问题

当函数的表达形式复杂、用初等函数不能求解时，常考虑用导数的方法求解.通常先由导数公式求出f′（x），解关于f′（x）的不等式时注意分类讨论的思想.

当b-1<1，即b<2时，f′（x）的变化情况如下表：

x （-∞，b-1） b-1 （b-1，1） （1，+∞）f′（x）-0+-

当b-1>1，即b>2时，f′（x）的变化情况如下表：

x （-∞，1） （1，b-1） b-1 （b-1，+∞）f′（x）-+0-

当b<2时，函数f（x）在（-∞，b-1）、（1，+∞）上单调递减，在（b-1，1）上单调递增；

当b>2时，函数f（x）在（-∞，1）、（b-1，+∞）上单调递减，在（1，b-1）上单调递增；

点评：求导后的分类讨论问题应注意：一要找分类点（根的大小比较、含x的最高次项系数正负的确定）、列表；二要结合代数方法（如分解因式、配方法、解方程或不等式，处理导函数的正负问题.

二、利用导数解决函数的最值问题

对闭区间的可导函数求其最值时，先求出函数的极值，再比较端点值的函数值与极值的大小，从而确定出函数的最大值、最小值.

（1）求函数f（x）的单调区间.

（2）设g（a）为f（x）在区间［0，2］上的最小值.

（i）写出g（a）的表达式；

（ii）求a的取值范围，使得-6≤g（a）≤-2.

若a≤0，则f′（x）>0，f（x）的单调递增区间是［0，+∞）.

点评：本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想.立足基础，解决问题，突出导数的工具性.

三、利用导数解决函数的恒成立问题

恒成立问题是近几年的热点，一般有两种典型结构：“a≤f（x）恒成立”、……