☉浙江省杭州师范大学附属中学 苏立标

同根同源的两道圆锥曲线高考试题的剖析

☉浙江省杭州师范大学附属中学 苏立标

每年高考解析几何试题总是五彩缤纷、精彩不断，不乏有许多点睛之作，或给人以启迪，或给人以思考.研究高考试题，这是我们教学研究的一个规定动作，引导学生剖析试题内涵，寻找试题间的联系，这是我们教学中不得不停留的地方，所以我们可以从联系的角度去审视高考试题，置知识于系统中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入数学的本质.

一、试题的剖析

（1）求椭圆E的方程.

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

由于对任意m、k恒成立，所以联立解得x1=1.故存在定点M（1，0），符合题意.

剖析：由题意易知动直线l是椭圆的一条切线，直线x=4为椭圆的右准线，定点M（1，0）恰好为椭圆的右焦点，这样我们就可以把上述高考试题一般化，得到：

如果我们再把上面的试题改为其逆命题，则又得到2012年安徽省高考数学试题：

故得直线PQ与椭圆C只有一个交点，即直线PQ是椭圆C的切线．

点评：“莫让浮云遮望眼，撩开雾纱见真颜”，两道不同省份的高考试题，却有相同的知识背景，都汇聚了椭圆中重要的几何元素：焦点、准线、切线，两个试题互为逆命题，全面考查了解析几何的基本思想方法．透过纷繁复杂的数学表面，看到自……