☉安徽省淮南市第三中学 代 银 戴晨希

从一道2012年自主招生“北约”联考数学试题谈三角形“心”的性质

☉安徽省淮南市第三中学 代 银 戴晨希

2012年自主招生“北约”联考数学试卷第4题：如果锐角△ABC的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离比.

以下笔者借此题与大家谈一谈三角形若干“心”的一些性质.

性质1：如图1，△ABC的外接圆圆心为O，设O到三角形三边BC、CA、AB的距离分别为h1、h2、h3，则：

图1

性质2：如图2，△ABC的内切圆圆心为O，设O到三角形三边BC、CA、AB的距离分别为h1、h2、h3，则：

证明：（i）显然成立.

图2

性质3：如图3，△ABC的重心为O，设O到三角形三边BC、CA、AB的距离分别为h1、h2、h3，则：

证明：设三角形三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，点M为线段BC的中点.

图3

性质4：如图4，锐角△ABC中，AD、BE、CF分别是三边上的高，O为垂心，则：

证明：设三角形三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c.

图4