☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

一道《中学数学》“新题征展”题的探究

☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

一、问题提出

《中学数学》杂志2010年第3期（上）的“新题征展”（113）中的一道创新应用题：

如图1，设P是⊙O：x2+y2=2上的一点，定点A（－1，0），过原点O作直线PA的垂线交直线x=－2于Q点.

（1）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切.

（2）试探究：当点P在⊙O上运动时（除去圆与x轴的交点），直线PQ与⊙O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由.

题目特点：题目是以圆的标准方程给出，“定点”的出现与“直线PQ与⊙O是否保持相切的位置关系”的出现，给题目增加了亮点.第二问又以存在性问题的形式展示，进一步增强了题目的可读性与探究的魅力，步步为营，层层诱导解题者坚定信心，促使持之以恒地进行探究，是一道考查直线与圆的位置关系的好题.

图1

二、问题探究

1.解法赏析

又kPQ·kOP=-1，所以PQ⊥OP.故直线PQ始终与⊙O相切.

点评：上述解法是通性通法，自然具有一般性，有利于对本题进一步的探究.

2.剖析原题的“数”与“形”的关系

经过认真的思考，以逆向思维的方式将题目的“结构”与“数据”中潜藏的关系显化出来，其思考的过程是：

从题目的“结构”（包含图形）看，题中有“直线PQ与⊙O是否保持相切的位置关系”的结构，图形中出现“双垂直图”（PQ⊥OP与PA⊥OQ）的结构；从题目的“数据”（包含等式）看，题中有“⊙O的方程：x2+y2=2”、“定点A（－1，0）”、“直线x=－2”的数据，解法中可归纳出斜率等式：kPQ·kOP=kPA·kOQ=－1.这些结论的出现，就会启发对此题的进一步思考.

反思：从上述题解题过程中，凭直觉思维和对此题的感悟，通过反思题意和解题过程，提出问题：对所涉及的定点与给定的直线之间是否存在什么关系？……