☉广 西 柳 州 高 级 中 学 吴佐慧

☉华中师范大学第一附属中学 徐李林

☉湖 北 大 学 数 学 系 刘合国

我们先看下面这道题及其常规解法.

题目：已知cosA+cosB+cosC=0，sinA+sinB+sinC=0，求证：

解法一：由条件可得cosA+cosB=-cosC，sinA+sinB=-

sinC，则（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=1.+

同理sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

下面运用复数给出两种自然简单的解法.

解法二：设z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC，由条件可得z1+z2+z3=0.

设在复平面xOy内z1，z2，z3所对应的点分别为M，N，P，则△MNP是等边三角形，且点O为其中心.

所以cos3A+cos3B+cos3C=3cos（A+B+C）.

同理sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

解法三：设z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC，由条件可得z1+z2+z3=0.

则cos3A+cos3B+cos3C=3cos（A+B+C），sin3A+sin3B+sin3C=3sin（A+B+C）.

复数是初等数学中代数、几何、三角等分科知识的交汇点，著名数学家J.Hadamard有句名言：“实数域里两个真理之间的最短路程是通过复数域.”巧妙地借用复数，可以大大简化解题过程，很好地解决某些代数、三角、几何等问题，同时还可以开阔学生的眼界，提升学生的思维能力，这符合新课程改革的教育思想与理念.