☉江苏省江浦高级中学文昌校区 於有海

一、规律探索

1.问题给出

《中学生数学》（2010年1月上）（高中）中“怎样做到分类不重不漏”［1］一文，运用多重分类的方法处理2007年高考广东卷一题.

例1 已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点，求a的取值范围.

有兴趣的读者可参阅原文.

笔者认为多级分类讨论对学生来说要做到分类不重不漏并非易事，我们不妨翻阅各地高考试卷，凡涉及多重分类讨论的大都是一些压轴题，而此题不一定有此难度.当然，解决此题的方法一定也很多，下面笔者谈谈个人对此题乃至一类问题的一点浅见.

2.问题分析

函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点

⇒方程2ax2+2x-3-a=0在区间［-1，1］上有实数解

3.问题简解

解：函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点，等价于方程2ax2+2x-3-a=0在区间［-1，1］上有实数解，即方程（2x2-1）a=3-2x（*）在区间［-1，1］上有实数解.

如图1.

二、殊途同归

1.方法提炼

例1实质是“方程有解”问题.命题结构：∃x∈［a，b］ ，使得方程（fx）=m成立.

如图2所示，如果命题成立（方程有解），那么m应该在两条直线（包括直线）之间的区域内变化，而此区域正是函数y=f（x）的值域，由此可归纳出这类问题的处理流程：

方程有解⇐求函数值域⇐找函数⇐变量分离

（变量分离这步需要根据具体题目考虑使用与否，下面不再说明）

2.姊妹命题

“方程有解”问题我们不妨先到此，下面来看看“方程无解”、“不等式恒成立”、“不等式能成立”与“方程有解”问题的区别和联系.

（1）“方程无解”问题

命题结构：∀x∈［a，b］，都有方程f（x）=m不成立.

如图3所示，如果命题成立（方程无解），那么m应该在两条直线（不包括直线）之外……